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鞘悄芏床煲恢帜吧男牧榈纳畲Φ难酃狻霾荒馨阉橛凇洞看饫硇耘小分兴疾斓娜现椒ǎ还吠枷笤绞谴看猓驮绞悄岩晕渌酃馑斫狻；德鄣拇看庾匀煌枷螅缗６俸涂档碌氖澜纾窃诙珊头匠淌街斜蝗现⒈话盐蘸捅唤馕龅模⒆钪毡患蛟嘉逑担挥谢鄣拇看饫吠枷螅缙章尢崤担≒lotinus）、但丁和乔尔丹诺·布鲁诺（Giordano Bruno）的世界，是直觉地看到的，内在地体验到的，是作为一种形式或象征被把握的，并最终被交付给诗人和艺术家的概念。歌德的“活生生的自然”就是一种历史的世界图象。
二
为了说明心灵力图在其外部世界的图象中实现自身的方法——亦即，为了说明文化在“既成”状态中能多大程度上表现或描绘人类生存的观念——我选择了“数字”（number）这一所有数学赖以确立的基本要素。我做这样的选择，是因为数学——虽然只有很少的人能够理解其丰富的深度——在人类心灵的创造活动中具有十分特殊的地位。数学是一种最严密的科学，就如同逻辑一样，但它比逻辑更易于为人理解，也更为丰富；数学是一种真正的艺术，是可与雕刻和音乐并驾齐驱的，因为它也需要灵感的指导，而且是在伟大的形式传统下发展起来的；最后，数学还是一种最高级的形而上学，如同柏拉图尤其是莱布尼茨所告诉我们的。迄今为止的每一种哲学的发展，皆伴随有属于此哲学的数学。数字是因果必然性的象征。和上帝的概念一样，数字包含有作为自然之世界的终极意义。因此，数字的存在可以说是一种奥秘，每一文化的宗教思想都留有数字的印记。
如同所有的生成过程皆有方向的原始特性（不可逆性）一样，所有的既成之物皆有广延的特性。但是，“方向”和“广延”这两个词似乎还难以让人满意，因为在它们之间只能作出一种人为的区分。所有的既成之物的真正秘密——事实上，它即是（在空间和物质中）延展的事物——就体现在与编年学的数字相对立的数学的数字中。数学的数字，在其本质中就蕴含有机械的区隔（mechanical demarcation）的概念，就此方面而言，数字类似于文字（word），因为文字正是以其包容与指谓的事实来区隔世界印象的。事实上，数字与文字两者最深处的奥秘在此皆是只可意会、不可言传的。但是，数学家所操作的实际数字，包括图形、公式、符号、图表，简而言之，数学家所准确地思考、言说或书写的数字符号，皆如准确地运用的文字一样，自一开始便是这些深层奥秘的象征，是内在之眼和外在之眼皆可以想象、可以沟通和可以领会的某种东西，可以作为区隔的代表来予以接受。数字的起源类似于神话的起源。原始人把不可确定的自然印象（用我们的术语说，“外来的”印象）提升为神灵或神秘（numina），同时又用一个限定它们的名称来捕捉和框定它们。数字也是这样的一种标识和捕捉自然印象的东西，正是借助于名称和数字，人类的理解力终于可以制服世界了。在最后的分析中，一种数学的数字语言和一种口语的语法在结构上是一样的。逻辑永远是一种数学，反之亦然。因此，在人类心智恰当地运用数学的数字的所有行为——度量、计算、绘图、测重、排列、分割——中，人们也在努力用文字来界定延展之物，亦即以证明、结论、定理和体系的形式来说明之；并且，也只有通过此等行为（可能或多或少地是无意间的），醒觉的人类才开始能够运用数字——规范地——来描绘对象和特性、关系和差异、统一性和多样性等，简言之，描绘他觉得必要的和不可移易的、他称之为“自然”和他所“认知”的世界图象的结构。自然是可以用数字来表达的，而历史则相反，它是那与数学无关的事物的集合——因此有自然律的数学确定性，有伽利略那无比正确的名言：自然是“用数学语言写成的”；还有康德所强调的这样一个事实：精确的自然科学所能到达的限度，即是应用数学之可能性所能允许的限度。因此，数字作为已完成的区隔的符号，体现了一切被认知、被界定的实际事物的本质，而它自身同时也变成了一切，正如毕达哥拉斯和其他一些人借助于一种强有力的和真正宗教的直觉、用完全内在的确定性所已经看到的。然而，我们此处所谓的数学——由此意味着借形象来实际地思考的能力——不可与远为狭义的科学的数学相混淆，亦即不可与在演讲和论文中提出的那种数字理论相混淆。一种文化在自身之内所拥有的数学的视野和思想，是它的形诸于文字的数学所不可能充分地表达的，一如其哲学的视野和思想是其哲学的论文所不可能充分地表达的一样。数字是从一个还有其他出口的源泉中涌现出来的。因而在每一文化的开端处，我们总能发现一种古代风格，即在早期希腊和其他地方被正当地称作几何学的风格。在公元前10世纪的这一早期古典风格中，在埃及第四王朝以其绝对主义的直线和直角所表现出来的庙宇风格中，在早期基督教的石棺浮雕中，还有在罗马风格的建筑和装饰中，一个共同的因素就是，它们都明确地是数学的。在这里，每一条直线，人和动物的每一个蓄意非模仿的形象，都在与死（不可移易的固定之物）之奥秘的直接关联中揭示着一个神秘的数字思维。
哥特式的教堂和多立克式的庙宇便是以石头表现的数学（mathematics in stone）。毕达哥拉斯无疑是古典文化中将数字科学地看作是可理解的事物所构成的世界秩序的原则——看作是标准，看作是度量——的第一人，但是，甚至在他之前，在雕像的严格法式中，在多立克柱廊的秩序中，数字就被用来表达感觉的…物质的单位的一种高贵的排列。伟大的艺术，每一个都是借助以数字为基础的限制来进行阐释的模式（例如可以想一想油画中空间再现的问题）。一种高级的数学天赋，即便没有任何的数学科学，也能在技术领域获得成熟而完美的自我认识。
在一种强有力的数字感如此确凿的展示中，甚至在古王国时期，在金字塔庙宇的尺度测定中，在建筑、防洪工程、公共行政（更不用提历书了）的技术中，没有人会确然无疑地坚持认为新帝国时期的阿赫姆斯（Ahmes）的毫无价值的算术代表了埃及数学的水平。澳大利亚土著在才智方面完全属于原始人，可他们具有一种数学本能（或者说，一种类似于数学本能的东西，一种用数字进行思维的能力，尽管还不会运用符号或文字来沟通），就其对纯粹空间的阐释而言，他们的这一本能远远优越于希腊人。他们所发明的回向镖只能归功于他们对某一类数字——我们称之为高等几何——有着一种确然的感觉。因而——我们会在后面再证明使用这个副词的合理性——他们拥有一套极其复杂的仪式，为了表达亲密的程度，他们发明了如此微妙精细的语言，甚至连高级文化本身也做不到这样。
又一次，在欧几里得的数学，跟成熟的伯里克利时代的希腊对仪式性的公共生活或孤独感全无感觉之间，存在着一种类比，而巴罗克时代——与古典时代迥然不同——则向我们展示了一种空间分析的数学，一个凡尔赛的宫廷，以及一个依托于王朝关系的国家制度。
在数字的世界中所显示的，正是一种心灵的风格，故而数字的世界，除了有关于它的科学之外，还包括其他一些东西。
三
由上所述，我们可以看到一个具有决定性意义的重要事实，这一事实迄今为止连数学家自己都未能洞明。
数字本身并不存在，也不可能存在。所存在的乃是多个数字世界，如同多种文化的存在一样。我们发现的是一种印度数学思想、一种阿拉伯数学思想、一种古典数学思想、一种西方数学思想，与这每一种数学思想相对应的是一种数字类型，而每一类型根本上都是特殊的和独一无二的，是一种特定的世界感的表现，是一种有着特定的有效性、甚至能科学地定义的象征，是一种排列既成之物的原则，这原则反映着一种且仅仅一种心灵亦即那一特殊文化的心灵的核心本质。由此言之，世上不只有一种数学。因为，不容置疑的是，欧几里得几何学的内在结构与笛卡儿几何学的内在结构是完全不同的，阿基米德（Archimedes）的数学分析是与高斯（Gauss）的数学分析完全不同的东西，不仅仅是在形式、直觉和方法上，而且本质上首要的是在他们各自提出和说明的数字的内在的和必然的意义上。这种数字，这一在其中可以使现象获得自我解释的视界，以及因此，这一被限定在给定范围且服从于其特殊类别的数学的“自然”或广延的世界的整体，并不是所有人类所共有的，而是各具特色的，各属于一种确定的人类的。
因此，所存在的任何数学的风格整个地都依赖于它所扎根的文化，依赖于那构想它的特定人类。心灵能将其固有的可能性付诸科学的发展，能实际地控制这些可能性，能在对这些可能性的处理中达到最高的水平——但它根本无力改变这些可能性。欧几里得几何学的观念在古典装饰的最早形式中就被实现了，微积分的观念在哥特式建筑的最早形式中就被实现了，比这各别文化第一个渊博的数学家的出生要早好几个世纪。
一种深刻的内在经验或者说真正醒觉的自我可以把儿童转变成高级人，可以把他纳入他的文化的共同体中，而这正是他的数字感出现的标志，亦是他的语言感出现的标志。只有在这之后，客体才会对那醒觉意识存在，才会呈现为诸如数字之类的有限度的和可区分的东西；只有在这之后，周围世界的那些属性、概念、因果必然性和体系，或者说世界的形式和世界定律（因为那被设定和被解决的，事实上就是被限定的、被坚固的、受数字控制的）才易于被准确地定义。并且由此，还会对测量和计算、绘图和形式的深奥意义产生一种出乎意料的、几乎形而上的恐惧感和敬畏感。
如今，康德已依据先天综合判断（普遍必然的有效性）和后天综合判断（经验的和随情形而变的）对人类知识的总体进行了分类，其中前一类知识就包括有数学知识。由此，毫无疑问，康德就可以把强烈的内心感受还原为抽象的形式。但是，康德这么做完全偏离了这样一个事实（在现代数学和现代力学中已被充分地证明了），就是：在这两种判断之间，根本不存在如此界限分明的区分，如同在先天判断原理中根本地和无条件地示意出来的，先天本身虽则确然是哲学中的一种最具启发性的概念，可似乎也是一个包含着许多困难的观念。康德为它总结了两个特性——但并没有试图去证明那一根本不能证明的东西——即在所有的理智活动中，它既具有形式的不可改变性，同时又具有对所有人而言形式的同一性。结果，一个具有不可估量的重要性的因素完全被忽视了——这要归功于康德时代的理智的先入之见，更别说康德本人的了。这一因素便是那一所谓的“普遍有效性”的伸缩度（the varying degree）。真正范围广泛的有效性具有某些无可怀疑的特征，这些特征（表面上看是在任何时候）是独立于文化和认知个体所属的时代的，但与这些特征相伴随的，必定还存在一种十分特殊的形式必然性，为认知个体的所有思想成为定理奠定基础，而认知个体由于只属于他自己的文化而不属于别的文化，故而必定会受到这一形式必然性的影响。这样，在此我们便有了两种完全不同的先天的思想…内容，去对它们之间的交界线作出界定，甚至于去证明存在这样的交界线，都是一个难题，这难题超出了认识活动的所有可能性，永远也不会得到解决。迄今为止，没有人敢说，心智的假定的恒在结构是一个幻觉；没有人敢说，就在我们眼前展现的历史包含了不止一种认知风格。但是，我们不要忘记，对还没有成为问题的事物获得一致意见，既有可能意味着一个普遍的真理，也有可能意味着一个普遍的错误。确实，人类总是对疑点和模糊性有某种感觉，这种感觉是如此之普遍，以至于人们从哲学家的不一致（non…agreement）中有可能得出正确的猜测，我们每每扫视哲学史的时候都能看到这一点。但是，这种不一致并不是由于人类心智的不完善，也不是由于可以完善的知识当下的不足，一句话，这不是由于缺陷，而是由于命运和历史必然性——这就是一个发现。对深刻的和终极的事物得出结论，不能通过设定一些恒量，而要通过研究差异，通过发掘差异的有机逻辑来达成。知识形式的比较形态学是西方思想至今仍有待攻克的一个领域。
四
如果数学是像天文学或矿物学一样的一种纯粹科学，那要界定它们的对象应当是可能的。可以前从事数学研究的人并没有、也没有能力这么做。我们西欧人对数字提出了自己的科学观点，为的是完成雅典和巴格达的数学家所从事的相同的任务。但事实是，在雅典和巴格达，类似名称的科学的主题、意图和方法与我们自己的完全不同。根本就不存在单一的数学，而只存在不同的数学。我们所谓的“数学史”，意指的仅仅是某个单一的、不变的理想的逐步实现，而事实上，在数学史的虚饰的表面底下，是一大堆自足的、彼此独立的发展的复合体，是一个不断重复的过程，在那里，总有新的形式世界的诞生，也有对旧的陌生的形式世界的挪用、转变和剥离，总之，这是一个发生于每个特定时期，并要经历从开花到成熟、从枯萎直至死亡的过程的纯粹有机的故事。研究者决不可上当受骗。古典心灵的数学几乎是从一片空无中萌生出来的；而历史地构成的西方心灵已经拥有了古典科学（不是内在地服膺，而是经由学习外在地获得的），因此它只能通过对后者作明显的改变和完善来成就自身的科学，可事实上，它还得摧毁那本质上与之疏离的欧几里得体系。第一种情况的代表便是毕达哥拉斯，第二种情况的代表是笛卡儿。在这两种情况中，归根到底，行为都是一样的。
在这个方面，一种数学的形式语言跟和数学同源的主要艺术的形式语言之间的关系，是毋庸置疑的。思想家的气质与艺术家的气质之间的差异固然很大，但各自醒觉意识的表达方法在内在的方面可谓是同出一辙。雕刻家、画家、作曲家的形式感，就其性质而言，本质上都是数学的。在17世纪的解析几何和投影几何中所体现出来的对一个无穷世界作的相同的、富有启发的秩序化，也使同时代的音乐生气盎然、活力弥漫，后者正是从通奏低音的艺术中发展出可称作音响世界的几何学的和声技术的；同样地，这种对无穷世界的秩序化，也激发同时代的绘画发展出了透视原则（这是只有西方人才会知道的有关空间世界的知觉几何学）。对于这一富有启发的秩序化，歌德称之为“在直观领域直接地领会形式的观念，对于这种形式，纯粹科学不能领会，而只能观察和分割”。数学超出了观察和分割的范围，它在其最高级的时刻可以通过想象而不是抽象来发现自己的道路。还是歌德，曾说过一句意味深长的名言：“数学家只有在他从自身之中感受到真实的美时，他才是完备的。”在此，我们当可感受到，数字的奥妙与艺术创作的奥妙，其关系是何等的紧密啊！也是因此，天生的数学家的位置，常常可以和赋格曲、雕刻、绘画等领域的大师排在一起；他和他们一样，都努力且必须努力去实现万物的伟大秩序，给那秩序穿上象征的外装，使其能同下里巴人进行交流，让他们在自己的内心去倾听那秩序，而不是富有成效地去占有那秩序；数字的王国，跟音调、线条、色彩的王国一样，皆是世界形式的意象。正是因为这一点，“创造性”一词在数学领域比在纯粹科学领域意味着更多的东西——牛顿、高斯、黎曼（Riemann）都是天生的艺术家（artist…nature），我们知道，他们的那些伟大的概念都是不经意间的神来之物。老维尔斯特拉斯（Weierstrass）曾经说：“一个数学家若不同时也是一个诗人，就决不是一个真正的数学家。”
因而，数学就是一门艺术。如是言之，那它必定有自己的风格和风格期（style…periods）。它不是像门外汉和哲学家（在这个问题上，他也是门外汉）所认为的那样实质上是不可改变的，而是像每一种艺术一样在各个时代皆有其难以觉察的变化。当我们在处理伟大的艺术的发展时，也要（确然地而不是徒劳无功地）顺便看一下同时代的数学的发展。对于音乐理论的变化与对无穷的分析之间存在的深刻关系