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Ⅹ。
ｐＥｂｃ，ｑＩａｂ，ｒＯａｃ×Ｃ４５—４７＇４７。
ＣｓＩａｂＣＫＥｂｃｓＯａｃ４７。
ｓＩｂａ×Ｃ１—４８＇４８。
ＣＫＥｂｃＩｂａＯａｃ（Ｆｅｒｉｓｏｎ）
３１。
ａｃ，ｑＩｂａ，ｒＯａｃ×Ｃ４８—４９＇４９。
ＣＫＥｃｂＩｂａＯａｃ（Ｆｒｅｓｉｓｏｎ）
１０。
ａｂ，ｂａ×５０＇５０。
ＣＡｂａＩａｂ４７。
ｓＡｂａ×Ｃ５０—５１＇５１。
ＣＫＥｂｃＡｂａＯａｃ（Ｆｅｌａｐｔｏｎ）
３１。
ａｃ，ｑＡｂａ，ｒＯａｃ×Ｃ５１—５２＇ ＇ ＇５２。
ＣＫＥｃｂＡｂａＯａｃ（Ｆｅｓａｐｏ）
作为所有这些推导的一个结果，一个显著的事实值得我们注意：有二十个三段论的式勿需使用公理３，即Ｂａｒｂａｒａ式，就可能推导出来。
甚至Ｂａｒｂａｒｉ也可以不用Ｂａｒｂａｒａ式而得到证明。
公理３是三段论系统的最重要的断定命题，因为它是唯一能产生全称肯定结论的三段论，但在简单三段论系统中它
…… 146
４３１第四章 用符号形式表达的亚里士多德系统
只有次等的地位，只有在证明Ｂａｒｏｃｏ与Ｂｏｃａｒｄｏ式时，才是必需的。
以下就是这两个证明：Ⅻ。
ｐＡｂｃ，ｑＡａｂ，ｒＡａｃ×Ｃ３—５３＇５３。
ＣＫＡｂｃＮＡａｃＮＡａｂ５３。
ＲＯ×５４５４。
ＣＫＡｂｃＯａｃＯａｂ５４。
ｂｃ，ｃｂ×５＇５。
ＣＫＡｃｂＯａｂＯａｃ（Ｂａｒｏｃｏ）
ＸＩ。
ｐＡｂｃ，ｑＡａｂ，ｒＡａｃ×Ｃ３—５６＇５６。
ＣＫＮＡａｃＡａｂＮＡｂｃ５６。
ＲＯ×５７５７。
ＣＫＯａｃＡａｂＯｂｃ５７。
ａｂ，ｂａ×５８＇５８。
ＣＫＯｂｃＡｂａＯａｃ（Ｂｏｃａｒｄｏ）
２７。排斥的表达式的公理和规则A关于断定一个命题和排斥一个命题这两种智力活动，①
现代形式逻辑只就第一种加以考虑。
弗莱格把断定的概念和断定符号（）引进了逻辑，它们在以后又得到《数学原b理》的作者们的承认。
然而，就我所知，排斥的概念，从过去到现在一直都被忽略了。
我们断定真命题而排斥假命题。
只有真命题才能加以断
①我把这个区别归功于弗朗茨布伦塔诺（Ｆｒａｎｚ
Ｂｒｅｎｔａｎｏ）
，他把信赖的W活动描述为承认（ａｎｅｒｋｅｎｅｎ）与排斥（ｖｅｒｗｅｒｆｅｎ）。
…… 147
２７。排斥的表达式的公理和规则A ５３１
定，因为断定一个原来不真的命题就是一个错误。
关于排斥则不能作类似性质的断定：并非只有假命题才应加以排斥。
每一个命题或真或假，这当然是真的，但也有既不真也不假的命题表达式。
所谓命题函项就是属于这一类的。
命题函项就是包含着自由变项的表达式，对于它们的有些值而言，它可以成为真的，而对于另外一些值而言，它可以成为假的。
以ｐ这个命题变项为例，它既不是真的，也不是假的，因为，对ｐ１它＇就成为真的，而对ｐ０它就成为假的了。
现在，关于两个矛盾＇命题，ａ与非ａ，一个必定是真的而另一个必是假的，所以一个应当被断定而另一个应被排斥。
但是两个矛盾的命题函项ｐ与Ｎｐ中的任何一个都不能加以断定，因为它们之中的任何一个都不是真的；它们两者都要被排斥。
被亚里士多德排斥的三段论形式都不是命题而是命题函项。
让我们举一个例子。
亚里士多德说，在第一格中当第一个词项属于所有中项，而不属于任何最后的词项时，就不会出现任何三段论。
所以这个三段论形式：（ｉ）ＣＫＡｂｃＥａｂＩａｃ没有被他作为正确的三段论来断定，而是加以排斥。
亚里士多德本人提出具体的词项来反驳上述形式：用“人”代ｂ，“动物”代ｃ，以及“石头”代ａ。
但还有其它的值使得公式（ｉ）能被确证：把变项ａ与ｃ等同起来我们就可以得到一个真蕴涵式ＣＫＡｂａＥａｂＩａ，因为它的前提是假的而其后件是真的。
公式（ｉ）的否定：（ｊ）ＮＣＫＡｂｃＥａｂＩａｃ因此也必须被排斥，因为对于ｃａ它是假的。
＇
…… 148
６３１第四章 用符号形式表达的亚里士多德系统
把量词引入这个系统我们就能勿需要排斥。
我们能够断定下面的断定命题以代替对形式（ｉ）的排斥。
（ｋ）ａｂｃＮＣＫＡｂｃＥａｂＩａｃ。
^这个就是说：有词项ａ，ｂ和ｃ确证（ｉ）的否定。
所以，（ｉ）这形式对于所有ａ，ｂ和ｃ不是真的，而且不能是正确的三段论。
同样，代替对表达式（ｊ）的排斥，我们可以断定这个断定命题：（１）ａｂｃＣＫＡｂｃＥａｂＩａｃ^但亚里士多德不知道有关量词的任何东西；他使用排斥来代替将带量词的新断定命题加在他的系统中。
因为，排斥似乎是比量化较为简单的概念，让我们随着亚里士多德的步骤来考察。
亚里士多德排斥绝大多数的不正确的三段论形式都是用具体词项来举例说明。
这是我们唯一不能追随他的地方，因为我们不能把像“人”或“动物”这样的具体词项引入逻辑中来。
有些形式必须公理地加以排斥。
我曾发现①如果我们公理地排斥第二格的以下两个式：ＣＫＡｃｂＡａｂＩａｃＣＫＥｃｂＥａｂＩａｃ，那么借助于两条排斥的规则也可以排斥所有其它不正确的三段论形式：（ｃ）排斥的分离规则：如果蕴涵式“如果α，则β”被断定了，但后件β被排斥，那么前件α必定也要被排
①见第２０节。
…… 149
２７。排斥的表达式的公理和规则A ７３１
斥。
（ｄ）
排斥的代入规则：如果β是α的一个代入，而且β被排斥了，那么α也必定要被排斥。
两条规则都是十分明显的。
三段论形式的数目一共是４×４３＝２５６；２４个形式是正确的三段论，２个形式是公理地排斥了的。
证明其余２３０个不正确的形式都可以用我们的公理和规则来排斥，那将是冗长而可厌的。
我将只用带有前提Ａｂｃ和Ｅａｂ的第一格三段论形式的例子来表明，我们的排斥规则如何在第一条排斥的公理的基础上进行证明。
排斥的表达式我用一个星号加在它们的序数之前来表示。
这样，我们有：
P５９。
ＣＫＡｃｂＡａｂＩａｃ（公理）
P５９ａ。
ＣＫＥｃｂＥａｂＩａｃ（公理）
Ｉ。
ｐＩａｃ，ｑＫＡｃｂＡａｂ×６０＇ ＇６０。
ＣＩａｃＣＫＡｃｂＡａｂＩａｃ６０×ＣP６１—P５９P６１。
Ｉａｃ这里第一次应用了排斥的分离规则。
断定的蕴涵式６０有一个排斥的后件，P５９；所以它的前件，P６１，必定也被排斥。
用同样的方法我得到排斥的表达式P６４，P６７，P７１，P７４，和P７。
Ⅴ。
ｐＩａｃ×６２＇６２。
ＣＮＩａｃＩａｃＩａｃ６２。
ＲＥ×６３
…… 150
８３１第四章 用符号形式表达的亚里士多德系统
６３。
ＣＥａｃＩａｃＩａｃ６３×ＣP６４—P６１P６４ＣＥａｃＩａｃ１。
ａｃ×６５＇６５。
ＡｃⅧ。
ｐＡｃ，ｑＥａｃ，ｒＩａｃ×Ｃ６５—６６＇ ＇ ＇６。
ＣＫＡｃＥａｃＩａｃＣＥａｃＩａｃ６×ＣP６７—P６４P６７。
ＣＫＡｃＥａｃＩａｃ
P６７×P６８。
ｂｃ＇ P６８。
ＣＫＡｂｃＥａｂＩａｃ这里应用了排斥的代入规则。
表达式P６８必须被排斥，因为在P６８中用ｃ替代ｂ，我们就得到排斥的表达式P６７。
这个同样的规则也用以得出P７５。
Ⅱ。
ｑＡａｂ，ｒＩａｂ×Ｃ８—６９＇６９。
ＣｐＡａｂＣｐＩａｂ６９。
ｐＫＡｂｃＥａｂ，ｂｃ×７０＇ ＇７０。
ＣＫＡｂｃＥａｂＡａｃＣＫＡｂｃＥａｂＩａｃ７０×ＣP７１—P６８P７１。
ＣＫＡｂｃＥａｂＡａｃＸＩＶ。
ｐＡｃｂ，ｑＩａｃ，ｒＡａｂ×７２＇７２。
ＣＫＡｃｂＮＩａｃＮＡａｂＣＫＡｃｂＡａｂＩａｃ７２。
ＲＥ，ＲＯ×７３７３。
ＣＫＡｃｂＥａｃＯａｂＣＫＡｃｂＡａｂＩａｃ７３×ＣP７４—P５９
…… 151
２８。我们的公理和规则不充分A ９３１
P７４。
ＣＫＡｃｂＥａｃＯａｂ
P７４×P７５。
ｂｃ
ｃｂ＇ P７５。
ＣＫＡｂｃＥａｂＯａｃ３８。
ｐＫＡｂｃＥａｂ，ｂｃ×７６＇７６。
ＣＫＡｂｃＥａｂＥａｃＣＫＡｂｃＥａｂＯａｃ７６×ＣP７７—P７５P７。
ＣＫＡｂｃＥａｂＥａｃ排斥的表达式P６８，P７１，P７５与P７７是带有前提Ａｂｃ与Ｅａｂ的第一格的四个可能的形式。
在第一格中，从这些前提不能得出任何正确的结论。
用同样的方法，在两条公理地排斥的形式的基础上，我们能够证明所有四个格中的一切其它不正确的三段论形式也必定被排斥。
２８。我们的公理和规则不充分A用我们的公理和断定规则来证明亚里士多德逻辑的所有已知断定命题，以及用我们的公理和排斥规则来反驳所有不正确的三段论形式，虽然都是可能的，结果仍然远远不能令人满意。
理由在于：在亚里士多德逻辑中，除了三段论的形式外，还有其它许多有意义的表达式。
实际上它们是无穷的，以致于我们不能确信这个三段论系统的所有真表达式是否都能从我们的公理和规则的系统中推导出来，而所有的假表达式是否都能被排斥。
事实上，要找出一个用我们的公理和排斥规则不能排斥的假表达式，是容易的。
例如，那样的表达式有：（Ｆ１）ＣＩａｂＣＮＡａｂＡｂａ它的意思是：“如果有些ａ是ｂ，那么如果并非所有ａ是ｂ，则
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０４１第四章 用符号形式表达的亚里士多德系统
所有ｂ是ａ“。
这个表达式在亚里士多德逻辑中不是真的，而且不能用断定的公理来证明，但它与这些公理是不矛盾的，把它加在公理之中，并不推出任何不正确的三段论形式。
我们来考虑一下如此扩展的这个三段论的系统是值得的。
从亚里士多德的逻辑定律：８。
ＣＡａｂＩａｂ与５０。
ＣＡｂａＩａｂ以及演绎理论定律：（ｍ）ＣＣｐｒＣｑｒＣＮｐｑｒ我们能够得出下面的新断定命题７８：（ｍ）ｐＡａｂ
ｑＡｂａ，ｒＩａｂ×Ｃ８—Ｃ５０—７８＇７８。
ＣＮＡａｂＡｂａＩａｂ。
这个断定命题是（Ｆ１）的换位蕴涵式，它与（Ｆ１）一起给出一个等值式。
在这个等值式的基础上，我们可以用函子Ａ定义函子Ｉ：（Ｆ２）
Ｉａｂ＝ＣＮＡａｂＡｂａ。
这个定义读作：“‘有些ａ是ｂ’的意思同于‘如果并非所有ａ是ｂ，则所有ｂ是ａ。
‘“因为表达式”如果非ｐ，则ｑ“与另一表达式”或者ｐ或者ｑ“是等值的，我们也能够说：”’有些ａ是ｂ‘，的意思同于’或者所有ａ是ｂ或者所有ｂ是ａ。
‘“
现在，容易在所谓“欧拉圈”
（Ｅｕｌｅｒｉａｎ
Ｃｉｒｃｌｅｓ）中找到这个扩展系统的一个解释。
如同在通常解释中一样，用圆圈代表词项ａ，ｂ，ｃ，但是在任何两个圆圈都不会彼此相交的条件下，公理１—４得到确证，而形式P５９ＣＫＡｃｂＡａｂＩａｃ与５９ａＣＫCＥｃｂＥａｂＩａｃ遭到排斥，因为可能划出两个圆圈彼此位于对方
…… 153
２８。我们的公理和规则不充分A １４１
之外而又都包含于第三个圆圈之中，这就驳倒了形式ＣＫＡｃｂ－ＡａｂＩａｃ，并且又可能划出三个圆圈，它们每一个都独立于其它两个圆圈，这就驳倒了形式ＣＫＥｃｂＥａｂＩａｃ。
于是亚里士多德逻辑的所有定律都得到确证，而所有不正确的三段论形式都被排斥。
然而，这个系统不同于亚里士多德三段论系统，因为公式（Ｆ１）是假的，如我们从以下例子中能够看出：“有些偶数可被３整除”是真的，但是不论是“所有偶数都可以被３整除”还是“凡被３整除的数都是偶数”都不是真的。
从这个考虑可以得出结论，我们的公理和规则的系统不是范畴的（Ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ）
①，即并非我们系统的任何解释都确证并否证（Ｖｅｒｉｆｙ
ａｎｄ
ｆａｌｓｉｆｙ）
同一个公式或者都是同构的（ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｃ）。
刚才说明的这一解释确证了（Ｆ１）
，而（Ｆ１）是没有被亚里士多德逻辑确证的。
所以，对于作出亚里士多德逻辑的全面和精确的描述来说，我们的公理和规则系统是不充分的。
为了排除这个困难，我们可以把表达式（Ｆ１）
作为公理来排斥。
但是这个药方是否有效，也还是个疑问；还可以有其它的与（Ｆ１）同一类的公式，甚至无数的这种公式。
问题是要为亚里士多德三段论系统找到一个公理和规则的系统，使得对于该三段论系统来说，我们能够判定所给出的其中任何有意
①一公理系统是范畴的，如果它具有一个模型，而且它的一切模型是彼此同构的。
一个公理系统的两个模型称之为同构的，如果在这两个模型中所使用的个体的两个域之间有着一一对应的关系。
参看阿隆若丘尔其：《数理逻辑导论》W（Ａｌｏｎｚｏ
Ｃｈｕｒ－ｃｈ：“Ｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎ
ｔｏｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ
Ｌｏｇｉｃ“）
，１９５６版，卷１，第３２９—３３０页。
——译者注
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２４１第四章 用符号形式表达的亚里士多德系统
义的表达式是否应被断定或被排斥。
这个最重要的判定问题将于下一章讨论。
…… 155
第五章 判定问题
２９。不能判定的表达式的数目A我把以下的三段论系统的基本元素作为我现在的研究的基础：（１）四条断定的公理１—４。
（２）断定表达式的代入规则（ａ）和分离规则（ｂ）。
（３）两条排斥的公理P５９和P５９ａ。
（４）排斥表达式的分离规则（ｃ）和代入规则（ｄ）。
必须把演绎理论作为一个辅助理论加在这个公理和规则的系统中。
从断定的公理和规则能导出全部已知亚里士多德逻辑的断定命题，亦即逻辑方阵诸定律，换位诸定律，以及所有正确的三段论的式；在排斥的公理和规则的基础上，所有不正确的三段论的形式能被排斥。
但是正如我们已经看到的，这个公理和规则的系统并不足以充分描述亚里士多德三段论系统，因为有着有意义的表达式，如ＣＩａｂＣＮＡａｂＡｂａ，它既不能被我们的断定的公理和规则所证明，也不能被我们的排斥的公理和规则所推翻。
我把这样的表达式叫做在我们的基础上是不能判定的。
不能判定的表达式在亚里士多德逻辑中可以是真的也可以是假的。
当然，表达