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４０。亚里士多德对扩展的Ｍ－定律的证明A ９９１
２８。
ＱＭｐｑＣｐｑＮＬＮｑ。
‘这用语言来表达就是：“ｐ是可能的——当且仅当——对于所有的ｑ，如果（如果ｐ，则ｑ）
，那末，非ｑ不是必然的“。
这个等值式必须增加到Ｌ基本模态逻辑中去，以代替等值式１作为Ｍｐ的定义，等值式１现在应当作为定理而被证明。
等值式２８由两个蕴涵式组成：２９。
ＣＭｐｑＣｐｑＮＬＮｑ和３０。
ＣｑＣｐｑＮＬＮｑＭｐ。
‘我们依靠定理ＣｑＣｐｑＮＬＮｑＣｐｑＮＬＮｑ和假言三段论，从‘２９式得出这样的结果：３１。
ＣＭｐＣｐｑＮＬＮｑ；而通过替代ｑｐ，Ｃｐ，交换法和分离法，从３１式就能容易地＇推出蕴涵式ＣＭｐＮＬＮｐ。
逆换的蕴涵式ＣＮＬＮｐＭｐ与原来的蕴涵式结合起来得出等值式１。
这个逆换的蕴涵式除了依靠Ｌ的扩展定律：ＣｐｑＣＬｐＬｑ以外，不能用其它方法得到证明。
由于这个证明略复杂，我将作出一个完整的证明。
前提：１８。
ＣｐｑＣＬｐＬｑ２４。
ＣｐｑＣｑｒＣｐｒ３０。
ＣｑＣｐｑＮＬＮｑＭｐ‘３２。
ＣｐｑＣＮｑＮｐ３。
ＣｐＣｑｒＣｑＣｐｒ。
推演：
１８。
ｐＮｑ，ｑＮｐ×３４＇３４。
ＣＮｑＮｐＣＬＮｑＬＮｐ２４。
ｐＣｐｑ，ｑＣＮｑＮｐ，ｒＣＬＮｑＬＮｐ×Ｃ３２—＇
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０２第六章 亚里士多德的模态命题逻辑
Ｃ３４—３５３５。
ＣｐｑＣＬＮｑＬＮｐ
３２。
ｐＬＮｑ，ｑＬＮｐ×３６＇３６。
ＣＬＮｑＬＮｐＣＮＬＮｐＮＬＮｑ
２４。
ｐＣｐｑ，ｑＣＬＮｑＬＮｐ，＇ ＇
ｒＣＮＬＮｐＮＬＮｑ×Ｃ３５—Ｃ３６—３７＇３７。
ＣｐｑＣＮＬＮｐＮＬＮｑ
３。
ｐＣｐｑ，ｑＮＬＮｐ，ｒＮＬＮｑ×Ｃ３７—３８＇３８。
ＣＮＬＮｐＣｐｑＮＬＮｑ
３８。２ｑ×３９‘３９。
ＣＮＬＮｐｑＣｐｑＮＬＮｑ‘
２４。
ｐＮＬＮｐ，ｑｑＣｐｑＮＬＮｑ，＇ ‘
ｒＭｐ×Ｃ３９—Ｃ３０—４０＇４０。
ＣＮＬＮｐＭｐ。
现在我们可以来证明Ｍ的扩展定律，这正是亚历山大所论证的目的。
这个定律可以轻易地从等值式１和断定命题３７推出来。
除此以外，我们还看到，依靠具有量词的定义所作的证明并不一定复杂。
只要保留定义１并且将Ｌ扩展定律补充到Ｌ系统中去，就足以得出Ｍ扩展定律。
如果我们将Ｍ扩展定律补充到Ｍ系统中去并且保留定义２，我们同样可以得出Ｌ扩展定律。
带有扩展定律的Ｌ系统与Ｍ系统是演绎地等值的，正如不带有扩展定律它们是演绎地等值的一样。
当然，很难相信古代的逻辑学家能够作出象上面所作的那样精确的证明。
但是证明是正确的这个事实本身却有趣地阐明了亚里士多德关于可能性的观念。
我认为亚里士多德已
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４１。命题之间的必然联系A １０２
经直觉地看到了这一点，简短地表达出来就是：今天可能的东西（例如说，一场海战）可以在明天存在或成为现实；但是，不可能的东西任何时候都不能成为现实。
这个观点看来是亚里士多德和亚历山大的证明的基础。
４１。命题之间的必然联系A亚里士多德只有一次表述了Ｌ扩展定律，那是在他涉及三段论的章节中，与Ｍ定律一起谈到的。
按照亚里士多德的意见，在一个有效的三段论的前提α和它的结论β之间存在着一种必然的联系。
因此，看来上面表述的具有以下形式的扩展定律１６。
ＣαＣβＬαＬβ和１７。
ＣαβＣＭαＭβ应该表达为带有必然的前件：４１。
ＣＬＣαβＣＬαＬβ和４２。
ＣＬＣαβＣＭαＭβ而相应的一般扩展定律应当读作：４３。
ＣＬＣｐｑＣＬｐＬｑ和４。
ＣＬＣｐｑＣＭｐＭｑ。
这由上面关于Ｍ定律的第一段引文得到证实，在那一段引文中，我们读到：“如果（如果α存在则β必须存在）
，那末，（如果α是可能的，则β也必须是可能的。）“
公式４３和４比带有实然前件的相应的公式１３和１９为弱，并且可以借助于公理ＣＬｐｐ和假言三段论２４式从公式１８和１９得出。
但是反过来从较弱的公式推出较强的公式却是不可能的。
问题在于，我们是不是应当排斥较强的公式１８和１９，而代之以较弱的公式４３和４。
要解决这个问题，我们必须探讨亚里士多德的必然性的概念。
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２０２第六章 亚里士多德的模态命题逻辑
亚里士多德承认有些必然命题是真的而应予断定。
在《分析篇》中可以找到两类断定了的必然命题：一类是命题之间的必然联系，另一类是词项之间的必然联系。
任何有效的三段论都可以作为第一类的例证，就以Ｂａｒｂａｒａ式为例：（ｇ）如果每一个ｂ是ａ并且每一个ｃ是ｂ，那末，必然地每一个ｃ必定是ａ。
这里“必然”一词不是意味着结论是必然命题，而是标志着三段论的前提和它的实然结论之间的必然联系。
这就是所谓“三段论的必然性”。
当亚里士多德在讨论一个具有实然结论的三段论时，说这个结论并不是“简单地”
（πω～ｓ）必Q然的，即本身是必然的，而是有“条件地”必然的，即关系到他的前提（“
D ωD ω）
①的时候，他非常清楚地看到在H J F H F J F H F三段论的必然性和一个必然结论之间存在着区别。
有这样的章节，在那里亚里士多德将必然性的两个标记都用于结论中去，例如说：从前提“每一个ｂ是ａ，并且有些ｃ是ｂ”得出结论：“这是必然的，有些ｃ必然是ａ”。
②这里第一个“必然”
是指三段论的联系，第二个“必然”是指结论乃是一个必然命题。
顺便指出亚里士多德的一个严重错误，他说，从单个前提不能必然地推出任何结论，而只有象在三段论中那样，至
①《前分析篇》，ｉ。
１０，３０ｂ３２“……结论在这里不是无条件地表达必然性，而是只有在具备所述条件时才表达必然性。”
②同上，９，３０ａ３７。
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４１。命题之间的必然联系A ３０２
少从两个前提才能必然地推出结论。
①在《后分析篇》中，他断言这一点已经得到证明，②但是，连一点证明的尝试在任何地方都没有提供。
相反，亚里士多德自己却说：“如果有些ｂ是ａ，那末必然有些ａ是ｂ”
，这样，就只从一个前提引出一个必然的结论。
③
我已说过：三段论的必然性可以化归为全称量词。
④当我们说，在一个有效的三段论中，结论是由前提必然地推出来的时候，我们需要指出的是三段论对于任何内容都是有效的，也就是说，它对于其中出现的变项的任何值都是有效的。
正如我们在后来所发现的那样，这种解释是为亚历山大所确定的，他断定：“三段论的结合是这样的，从这种结合中有某种东西必然地推论出来；并且它是这样的，在这种结合中，对于任何内容都将同样地推出结果。”
⑤化归为全称量词的三段论的必然性，可以依据三段论的定律而消去，这从下述考察中将看到。
三段论（ｇ）
，正确地译成符号“语言”将具有这样的形
①《前分析篇》，ｉ。
１５，３４ａ１７，“………从某个事物的存在并不能必然地推出任何东西，而至少要从两个事物的存在，例如，当两个前提按照所述三段论的那种方式联结起来的时候，才能必然地推出什么来。”
②《后分析篇》ｉ。
３，７３ａ７，“已经证明，举出一个事物——不论是一个词项或一个前提——决不包含一个必然的结论。
两个前提对于推出一个结论，从而更加是，对于论证的三段论科学是最初的和最少的基础。“
③《前分析篇》，ｉ。
２，２５ａ２０。
④参阅第５节。
⑤亚历山大，２０８，１６。
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４０２第六章 亚里士多德的模态命题逻辑
式：（ｈ）ＬＣＫＡｂａＡｃｂＡｃａ，它的语言表达式就是：（ｉ）
这是必然的，（如果每一个ｂ是ａ，并且每一个ｃ是ｂ，那末，每一个ｃ必定是ａ）。
在三段论之前的必然性记号表明，不是结论，而是前提和结论之间的联系是必然的。
亚里士多德会断定（ｈ）。
而公式（ｊ）ＣＫＡｂａＡｃｂＬＡｃａ，在字面上相当于语言表达式（ｇ）
，但这个公式却是错误的。
亚里士多德排斥了这个公式，正如他排斥带有更强的前提的公式一样，即（ｋ）ＣＫＡｂａＬＡｃｂＬＡｃａ，也就是：“如果每一个ｂ是ａ，并且必然地每一个ｃ是ｂ，那末，必然地每一个ｃ是ａ”。
①
通过将必然性化归为全称量词，公式（ｈ）可以改变为表达式：（１）ａｂｃＣＫＡｂａＡｃｂＡｃａ，‘即：“对于任何ａ，对于任何ｂ，对于任何ｃ，（如果每一个ｂ是ａ，并且每一个ｃ是ｂ，那末，每一个ｃ是ａ）”。
这最后的表达式等值于没有量词的Ｂａｒｂａｒａ式：（ｍ）ＣＫＡｂａＡｃｂＡｃａ，因为一个全称量词当放置在断定了的公式之前时，是可以省
①《前分析篇》，ｉ。
９，３０ａ２３“如果前提ＡＢ不表示必然性，而ＢＣ表示必然性，那末，就不会得出关于必然属于的结论。”
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４１。命题之间的必然联系A ５０２
略的。
公式（ｈ）和（ｍ）并不等值。
显然，（ｍ）可以根据ＣＬｐ的原则而从（ｂ）推演出来，而相反的推演过程却不能不将必然性化归为全称量词。
但是，如果将上述公式应用于具体词项的话，这种推演终究是不可能作到的。
例如，在公式（ｈ）中，我们用“鸟”代替ｂ，用“乌鸦”代替ａ，用“动物”代替ｃ，我们得出必然命题：（ｎ）这是必然的：（如果每一只鸟是乌鸦，并且每一个动物是鸟，那末，每一个动物是乌鸦）。
从（ｎ）又得出三段论（ｏ）
：（ｏ）如果每一只鸟是乌鸦，并且每一个动物是鸟，那末，每一个动物是乌鸦。
但我们却不能通过将必然性变为量词而从（ｏ）得出（ｎ）
，因为（ｎ）不包含可以被量化的变项。
这里我们就遇到了第一个困难。
当函子Ｌ加在包含自由变项的断定了的命题之前，必然性的意义是容易了解的。
在这种情况下，我们有一个一般定律，并且，我们可以说：我们将这个定律看作必然的，因为它对于一定种类的任何客体都是真的，而且不允许有例外。
但是当我们有一个缺少自由变项的必然命题，特别是当命题是一个由假的前件和假的后件所组成的蕴涵式，如我们所举的（ｎ）的例子那样，我们应当怎样去解释必然性呢？
我认为只有一个合理的回答：我们可以说，如果谁接受了这个三段论的前提，那末，他就必然地要被迫接受它的结论。
但是，这是一种心理学上的必然性，它与逻辑学是迥然不同的。
除此以外，谁会将显然假的命题断定为
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６０２第六章 亚里士多德的模态命题逻辑
真，这是很值得怀疑的。
我不知是否有比去掉在断定了的蕴涵式之前的Ｌ函子更好的补救方式去排除这个困难。
这种方法已经为亚里士多德所采用，他有时就省略了有效的三段论式中的必然性符号。
４２。
“实质”蕴涵还是“严格”蕴涵？
A按照麦加拉的菲罗的意见，蕴涵式“如果ｐ，那末ｑ”
，即Ｃｐｑ，是真的，当且仅当它不是从真的前件开始和以假的后件结尾。
这也就是现今在古典命题演算中普遍接受的所谓“实质”蕴涵。
“严格”蕴涵：“这是必然的：如果ｐ，那末ｑ，”即ＬＣｐｑ，乃是一个必然的实质蕴涵式，它是由Ｃ。
Ｉ。
刘易士引入符号逻辑中的。
借助于这些术语，我们所讨论的问题，可以这样来陈述：我们应将亚里士多德的扩展定律的前件解释为实质蕴涵呢？
还是解释为严格蕴涵？
换句话说就是：我们应当接受较强的公式１８和１９（我称这为强的解释）
，或者我们应当排斥它们，而采用较弱的公式４３和４４（弱的解释）？
亚里士多德自然没有意识到这两种解释之间的区别和它们对模态逻辑的重要性。
他不可能了解由菲罗所提出的实质蕴涵的定义。
但是亚里士多德的注释者亚历山大却非常了解斯多亚—麦加拉学派的逻辑学，并且熟悉在这个学派的后继者中对蕴涵的意义所进行的热烈的争论。
我们现在来看亚历山大对我们这个问题所作的注释。
亚历山大在注释亚里士多德“如果（如果α存在，则β必须存在）
，那末，（如果α是可能的，则β必须是可能的）“这一段时，强调了”如果α存在，则β必须存在“这个前提的必
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４２。
“实质”蕴涵还是“严格”蕴涵？
A ７０２
然的性质。
因此看来，他定会采用较弱的解释ＣＬＣαβＣＭαＭβ和较弱的Ｍ扩展定律ＣＬＣｐｑＣＭｐＭｑ。
但是，他所指的必然蕴涵的意思和刘易士所认为的严格蕴涵之间是有区别的。
他说，在一个必然蕴涵中，后件应当总是（即在任何时候）从前件推出来，因此命题“如果亚历山大存在，他就有若干岁”
，就不是一个真的蕴涵式，甚至当陈述这个命题时，亚历山大事实上是这么多岁数，这个蕴涵式也不是真的①。
我们可以说，这个命题表达得不够严格，并且为了使它永真，需要补充一些时间性的限定。
一个真的实质蕴涵，当然应当是永真的，而如果它包含了变项，则对变项的所有的值都须是真的。
亚历山大的注释与强的解释不是不相容的；它无助于解决我们的问题。
如果我们将第４０节所阐述的亚历山大对Ｍ扩展定律所作的证明中的实质蕴涵Ｃｐｑ，代之以严格蕴涵ＬＣｐｑ，问题就得到了某些解决。
这样来改变公式３１。
ＣＭｐＣｐｑＮＬＮｑ，我们就得出：４５。
ＣＭｐＣＬＣｐｑＮＬＮｑ。
从公式３１我们可以容易地推出ＣＭｐＮＬＮｐ，方式是依靠替代ｑｐ，得出ＣＭｐＣｐＮＬＮｐ，从这个公式依靠交换法和分离法＇①亚历山大，１７６，２。
“必然的推论是这样的：它不具有时间的性质，而在它的表达式中，‘这个前提推出’与表达式‘这个前提有后件’永远表示同样的意思。
例如，如果我们说：‘如果亚历山大存在，那末就说亚历山大’，或者‘如果亚历山大存在，那末他就有若干岁’，就不是真的蕴涵式，即令在我们陈述这个命题的时刻，他是有若干岁“。
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８０２第六章 亚里士多德的模态命题逻辑
就得出我们的命题，因为Ｃｐｐ乃是一个断定了的蕴涵式。
但是这同一的方法却不能运用于公式４５。
我们得出ＣＭｐCＣＬＣｐＮＬＮ�