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绝妙的、革命的——并且也非常有争议的。只要我们在适当的时刻，我们是否可以真用0去除呢？我们能否符合逻辑的搞清楚我们的移动和缩小，以及一个三角形在最终和一个曲线形边的形状相同的问题呢？并且“最终”明确的意味着什么呢？
在十七世纪晚期开始的答案是充满异议和反证的，这种情况延续到以后150年，从客气辩论上升到到相恨的争吵，形成并归结于无穷小的知识和语言。如果精明的农村人知道很多个多构成更多量；如果仅仅是看不见的鬼怪和很少的一部分神话传说中有超于我们的力量存在；如果较少就是较多——那么为什么最少不能是最多呢？为什么这里不引用相同的比喻并重新认为零是某物存在的微小量呢？这就是在17世纪被一个接一个的数学家分别引用的方法，恰好被熟悉的运动弄得前景迷惑。利用数学的和人类的术语中，这个故事太复杂以至于什么事情都不能做，只能在这里浅薄地叙述它。依照爱默生（Emerson）的建议，当在薄冰上溜冰，速度是你的助手；因此，只要我愿意，我不会逗留在仅仅望着远方模糊的东西而冒着把闪闪发光的结论撇在远处的危险，从而偏离通往它们的路径。
当h变得很小时，曲线和它的切线变得愈来愈接近；毫无疑问，考虑它的每一个人都赞成这一点。因为问题在于“很小”和零的区别（你可以用第一个去做除数，但不可以用第二个去做除数），对一些人来说，它成为用微小的点来填补两者之间间隙的物质；对其它人来说，它成为静态景象但是令人鼓舞的物质。
在刚才操作中（事实上我们把三角形PBC始终叫做“巴罗的微分三角形”），艾萨克·牛顿（Isaac Newton）的老师艾萨克·巴罗（Isaac Barrow）用几何学方法证明并得出这样的结论，当三角形PBC“足够小时”它可能安全的等同于PBD。他说，几何的方法可以“免除讨厌的计算负担”。这是一个生动的评论，因为计算开始于在一个板上移动小圆石，这里正在发展的微积分学将超过那个：不可再小的圆石的运动，概念上的沙子的颗粒，那将告诉我们那些微积分学从未能做到事情。
然而如何搞清“足够小”的意思呢？一些人说，想你喜欢的那样小，把负担推卸给批评家；“不确定的”和“确定的”小，另一些人说，把它还给认为由原子组成的世界。或确实存在原子（在他们的思想里，原子是绝对不可分的，而现代科学中原子可以继续分下去——译者注）——不是每个东西都可以永远分下去的？但是离开的一个极小量仍然说明它们是不同的，而且我们想要求的曲线的斜率不是接近P点而是在P点。
由此，在倡导“极小量”的概念的那些人中，又一个手段发展起来：微分量是小于任何你指定的数量；或者当与它较大的邻居比较时（当我们展开（r＋h）2并得到r2＋2rh＋h2，当h变小时我们忽略了h2，因为h2变小的更快），很小量可以被忽略。1691年，约翰·柏努利（Johann Bernoulli）说：“大数量是象天文距离的，而无限小量象你在显微镜下看到的微生物”——因此“一个减少或增加一个无限小量的数量既不增加也不见少”。
这让人想起弗莱恩·欧卜森（Flann O’Brien）在他的惊险小说《第三个警察》（The Third Policeman）中，由警官麦克克鲁斯肯（MacCruiskeen）制造的逐渐缩小的柜子的情景：
“六年前，它们开始变得不可见，玻璃的或不是玻璃的。没有人曾经看到我制作的最后五个，因为没有玻璃足够坚固可以用来把它们做得足够大，以便象曾经做过的最小的东西那样真实。没有人能看到我在制造它们，因为我的小工具是看不到。我正在制作的这个几乎小得和不存在差不多。第一个柜子以容纳它们一百万个之多，并且，如果将它们堆积起来，还有剩余的空间可以存放一双女人的马裤。亲爱的人知道它在哪里停并结束。”
“这个工作一定很费眼睛，”我说。
一气儿追溯到至少是梅斯特·爱克哈特（Meister Eckhart，1260？…1327？德国神学家，被认为是德国神秘主义的创始人。他的著作影响很大，内容主要是关于个人灵魂与神的统一——译者注），无穷小的概念等价于没有，如果要我们相信他的翻译者：“……（对）爱克哈特而言，在不定的人类和永恒的上帝之间的差别可以随心所欲地变小。”它仍然和我们在一起，象在银行的出纳员，他通过每天从许多客户的账目中汇集细小的几乎没有价值的千分之一进入他自己的账户就能富裕起来。如果一个曲棍球守门员在七次比赛中六次使对手不能得分，并且在持续整个冬天的赛季中有一个3小时51分54秒的不得分长跑，他就将被赞誉为零先生，就像弗兰克·布瑞穆斯克（Frank Brimsek）； 1938年胜利的波士顿熊队的队员就被称为零先生。
一个角色从所有被极小量说服的那些人中脱颖出来：高特瑞德·威廉·莱布尼兹（Gottfried Wilhelm Leibniz），1646年出生，德国外交官、律师、语言学家、哲学家、历史学家、地质学家和微积分学的创始人之一。即使当一个三角形的那些边消失时，他还不时说到三角形边的斜率依然存在；他时常从他的计算中删除可以忽略的小项。他说到他称dx为“无限接近”的两点之间在x值上的微分，但是也将它描述为一个“初始的量”。他说，他的零不是绝对的而是相对的。另一方面，他谈到它们作为正式的工具有同样的能力，就象虚数在代数学中成功地运用一样。
第三部分 费尽周折第28节 无穷小（2）
你必须求助于他的哲学来认真谈论这个dx是什么：答案令人震惊。莱布尼兹主张宇宙的最终要素不能被合成——如果是合成的，它们就不是最终的：你可以将它们分解成更简单的部分。但是在时间的任意时刻，空间的任意点总是可以被细分，至少在观念上可以。然而，我们每个人确实知道一个不可分割的最终的实体存在：也就是，本身。他称为“单子”（单子莱布尼兹学说理论中认为是构成物质世界存在的最基本的和不可分的单位——译者注）的这些点是概念上的或形而上学的点，你在你的内部，我在我的内部——或者更确切的说，我们每个人是一个单子。当你想到你的朴实、无亲无友的本身：纯洁的内涵，这时你能感觉到他是什么意思。也许这就是他为什么将说单子“没有窗户可以打开”的原因。对莱布尼兹来说，不可见的单独个体就是真实存在的单子——并且通常的单字只能靠想象。
而dx，是数学的无穷小单位吗？象他的单子，它也是活动的，不是呆滞的：每一个都作用于世界，动词多于名词。他更进一步，并称数学的点是他的单子的“观点”。对他而言，可见的空间世界实质上是单子的不可见结构的“平移”形成的。在我看来，单子是dx后想象的概念或它所预示的概念。更进一步，在他致力于发明基本原理的字母表中，dx也许已经表示“单子”。
如此形而上学的观点——在其中，零已经已经进入我们每个人的内心世界——是怎样引出一个充分描述并预测外部世界的数学呢？莱布尼兹会说，因为事物事先建立起来的协调。然而，与他的立场不协调是那些坚持运动只能根据运动来理解的人们：一个无论多么小的微粒，不是世界的本质，而变化本身才是世界的本质。另一个微积分的创始人，艾萨克·牛顿，在这里远远地盯着我们。
在清洁、传统的肖像中，他是第一个理性时期的思想家。约翰·梅纳德·凯恩斯（John Maynard Keynes）读完了牛顿贮藏起来的论文，前来探视他，他的最深奥的本能，他的不可思议的目标：揭开上帝藏在布满星星的天空中的宇宙秘密。作为莱布尼兹的对手，他不过是一个活的单子，神秘的、内在的——并且只有最窄的和最稀少的窗口可以通向他的著作。1665年，当牛顿20多岁时，瘟疫席卷了伦敦和他所在的剑桥大学。他将自己藏在自己家的农舍内并开始解决运动的秘密。后来他确实说这是他一生中收获最大的两年。象他的老师巴罗，按照无穷小量来考虑，从一个精明的苏格兰人詹姆士·格雷戈里（James Gregory）那里引进符号“o”。因为他使用这个“o”的方法和前几页我们使用h一样——用它来加、乘、除——所以，当你甚至在比的分母中也看到他用小零时是多么可怕呀！
一旦回到他在三位一体（圣父、圣子、圣灵合成一体——译者注）神学院的房间（他住的地方，具有讽刺意味的，他是一个秘密的唯一神教派（基督教的一派； 认为上帝系单一者； 反对三位一体的说法——译者注）的信徒）——被他的天文和炼金术的工具、他的镜头、曲颈瓶、密封的课本和计算凌乱地包围着——他轻微地但是有意义的改变着自己的状态。他仍然做着我们以前看到的他做的一切：从他的等式中删除（或者象他说的那样，用“擦去”这个词）可以忽略的小项；但是他逐渐想到的这些不是象空间上的无穷小量而是时间上的无穷小点，称它们为“瞬间”。从不可分割的学说中去处粗糙的东西，一个更有生机的观点正在出现。这是连续的发生呢，还是一眨眼工夫就发生的呢？我们所有的就是这轻轻的一瞥。
最后一个问题令人震惊：他拒绝忽略涉及o的项，因为“在数学中”，他说，“最小的误差都不应该忽视”。取而代之的是他忽略了整个无穷小量这个概念，包括空间的和时间的：“我将数学的量作为一个连续的运动来描述，而不是作为很小部分的组成来考虑的”。实际上，曲线是由连续运动的点形成的：“这些现象必然真实地发生，并且在物体的运动中每天都可以看到。”他以前为变量（variable）（“变数（fluent）”）和它的变化量（change）（“微分（fluxion）”）发明的名字现在盛行起来，随后像他的x’s和y’s一样也很盛行。“巴罗的微分三角形”变成“无限小的”。正象一个错误在一个透明的证据中处处显露。牛顿追寻事物如何作用而非它是什么，他对此的坚持与将运动作为基本原理是一致的。
无论如何，这里成熟的是微积分的对手学派，是从我们一直追随的把零想象为一个物体还是一个作用之间的对抗中成熟起来的。就象伊萨克·迪内森（Isak Dinesen）的爱情故事中的恋人，他们被锁在不同的匣子中，每个人拿着对方的钥匙。
每一方都不能用希腊数学中建立的阐述标准来测试它的过程。相反的，他们在自己内部争吵并被各方面的批评轰击。你还想从声名狼籍的任性的少数人中获得什么呢？德语中的o’是一个错误的光，因为它致使旅行者迷路。伯纳德·尼温梯基德（Bernard Nieuwentijdt）；荷兰内科医师，1694年写到他不能理解无穷小是如何不同于零的，或者无穷小的和又如何能达到有限。他说，这些方法同时导致了正确的和荒谬的结果：在它们表达清楚的地方，它们是矛盾的，在这个地方拒绝无穷小量而在那个地方却不拒绝。在他有名的小册子，《分析家The Analyst》（“讲给一个异端的数学家”）中，伯克利（Berkeley）的主教在1734年说这些无限小的增量“……既不是有限的数量也不是无限的量，然而也不是零。我们也不可以称他们为过去数量的幽灵吗？”并且他问：“是否人类可以用科学的方法正确地继续进行，不用清楚的考虑他们熟悉的目标，计划的结果，和追求它的方法？”
从结论来证明问题已经正确的解决，这说明这个方法是确实可行的（如果这些权宜之计使用很好），严密不是数学而是哲学应该关心的事情；为了吸引人心，就象优美胜于合理（另外，这里的自相矛盾的话象基督教中的那些一样有用）。“Allez en avant et la foi vous viendra，”法国数学家达兰贝尔（d’Alembert，1717…1783法国数学家及哲学家，他定义了保持均衡和离心力的力学定律——译者注）说，“只管前进而信念就会随之而来。” 辩驳的语言有时是辩论的类比，有时可能歪曲辩论本身。因此，前所未知的天才，布莱斯·帕斯卡（Blaise Pascal），要求技巧运用到这些过程而不考虑逻辑，你看到的它们自身由技巧组成，精炼胜于详细阐述。另一方面，莱布尼兹十分小心谨慎回击尼温梯基德：然而这些让人感到麻烦的细小的微分线段就是他解决问题方法的本质技巧。
不使用罗盘和地图，靠感觉摸索前进，想把自己留在一个从未有人记载过的地方，这些人是真正的探险家。在他们的想象中，他们所在的区域是由无限多的极细的线组成的，或者去除大量的细线后保留它在想象中的形式，这些都是从内心来的信息，他们的能力既使世人感到震惊又使人感到安慰（可以不为他们的冒险担心）。牛顿告诉他的一个朋友：“在数学上，我努力使它变得难懂，避免那些一知半解肤浅的人来减弱数学的魅力。”
直到19世纪中期，最后看起来使人满意的一种理解方法在法国和德国发展起来——一个使人想到詹姆士·瓦特（James Watt）使用旧硬币的方法，他曾经在他的口袋中装着旧硬币，来随时检验活塞和他的蒸汽机上的气缸的配合程度是否合适：必要的缝隙必须小于他口袋里的六便士的厚度。
这个方法是工程师很容易的实现的，给定一个公差范围，想办法实现和检验是否满足公差的要求。无论你坚持它们如何接近一个数值，一个逐渐缩小的数字系列的和（例如我们收缩的三角形的边的比率）有一个明确的极限，通过指定某项或者它以后的任何一项，我都能向你说明它们确实是靠近或者更加的靠近这个极限。1是 的极限吗？是的，如果我能说明这个和可以任意地接近1。在百分之一范围内？只要将前面七项加起来，你将发现这个级数的和仅仅比1少 。千分之一范围内呢？同样如此：前十项加起来的和是 ，这个级数的和接近1的程度比千分之一还要小。
几个世纪以来，人们正通向这个制造的标准。无数的学生努力的去掌握微积分的知识，在教他们的老师中，相当多的老师回避这个精确度上的问题。然而为了它所有的精确和技巧，让我们想起了德国和美国之间开展竞争的一个故事，在第一次时间大战后期，一个美国的制造商给德国的一个竞争对手寄去了一个经过非常精细拉拔的电线，这是他们国家可以引以自豪的象征，他们可以做到很精细的电线。这根电线被寄回来的时候，德国人在这个细线中打了一个完美的孔！
老的极限概念中，靠近和整齐是这里的关键：一系列的数字慢慢的靠近一个固定的数字（在我们的例子中f（x）=x2，6是那些很接近点（3，9）的切线的斜率的极限）。减小必须是连续的：它不能有跳跃或者在通向这个目标时有间隔存在，并且你必须能够从两边中的任意一边减小到这个极限还能得到同样的结果（如果一个上升的山在一个悬崖处结束，就没有意义去讨论在悬崖边的斜率了）。一旦我们注意了这些学术上的细节，并且我们有了表示它们的方便的符号系统，神秘感（也许有一点魔力）就会从光滑曲线的斜率中消失。
一个过程——例如这个h缩小到0——在被严格论证之前就一直在数学中应用：从阿基米德开始，这种方法一再地被使用，因为它来源于直觉却可以被正确结果证明，你可能已经猜到，这种过程绝不是仅仅使用了一次。在所有的数学思想中有两个支柱，第一个就是思维的自由想象，我们观察大量的现象，然后从中发明出一些表达的方法，这些表达方法可以完美的表述它们之间的关系，同时和我们的其它发明不产生矛盾，又能使它们周围的事物变得很清晰，世界上的事物可以完美的和思维的描述符合起来，顺应事物独一无二的行为。
发明完成之后，第二个活动开始了，经历了从观察令人赞美的现象到能够证明思维能很好的描述这种现象。它的支柱集中在仔细、巧妙的考虑上，这样的考虑利用少数演绎法则，从中抽出他们的本质问题，从斯巴达（Spartan）公理的核心出发，使那些结论被世人认可（一个或两个合理的假定可以用这种方法发明，但是一旦它们的推动结束，它们的作用将减小到零）。这样做导致了什么结果？只有在允许一定的误差范围和模糊的概念条件下我们的结论才是正确的，那些遥远的地方和遥远的时间才能让我们去理解。
现在，我们正在使数学的很多深刻的概念变得统�