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但凯利（以及申农）的理论系统更多情况下是用于处理不确定因素的。在现实生活中，没有什么事情能够万无一失。私人线路可能出错，或对方有意提供假情报，或线路噪音严重无法听清内部情报的内容。很多时候，私人线路就像天气预报一样只能提供一个概率，或者提供的内部情报需要由你自己分析（例如，某匹赛马早上没吃东西）。
在关于信息传输渠道噪音干扰的定理中，申农提出了模糊度这个概念，用来量化描述信息传输渠道中的噪音干扰。在信息来源不可靠的情况下（假如我们把信息来源也算做信息传输渠道的一部分），发音近似的词语、拼写错误、意义含混的句子、笔误、闪烁其辞、以及谎言都会提高模糊度。模糊度主要用来描述所收到的信息可能存在错误内容的可能性。申农认为，只有降低信息传输渠道的模糊度，才能保证信息的正确性。
在凯利设计的系统中，赌徒必须要考虑到模糊度这个因素。赌徒在下注时所依据的是根据内幕情报所估算出的赔率。如果你认为赛马〃海军上将〃有24％的胜算，就要把本金的24％押到赛马〃海军上将〃身上，这种做法被称为〃赌信念〃。
如果长期坚持下去，〃赌信念〃的做法可以给你带来最大金额的复利回报，但前提是你对赔率的估计必须要比一般公众对赔率的估计更加准确。
你可能会问，为什么不把钱全部押在最有可能获胜的赛马身上呢？最简单的答案是，最有可能获胜的赛马仍然可能会输掉比赛。比如，即使你的内部情报非常准确，而且你相信赛马〃北方舞者〃有99％的胜算，你也只能把本金的99％押在〃北方舞者〃身上，在口袋里留下1％。
〃北方舞者〃仍有1％的可能性输掉比赛。一旦〃北方舞者〃输掉比赛，你的口袋里就只剩下1％的本金了。但是，如果你把留在口袋里的1％本金押在参赛的其他马匹身上，就能多少赢回一些本钱，如果幸运的话，可能会赢回一大笔钱。押在你认为肯定会输的参赛马匹身上的钱相当于一个极有价值的〃保险〃。如果一旦发生不幸的话，有了这张保险单，你的损失也不会过于惨重。
第32节：第一章（28）
〃赌信念〃这个下注策略可谓东方不亮西方亮，赌徒也不用过于操心。你完全可以忽略赌金揭示牌上开出的赔率，而是根据自己的内部情报下注。没有比这更省心的事情了，而且管保投资收益率能达到最大值。
但如果你的头脑更现实一些的话，就会注意到在实际的赛马场上〃赌信念〃这种下注策略完全没有任何实际用处。在美国，赛马场的抽头大概在14％和19％之间。在日本，这个数字更是高达25％。所以，如果你把全部赌本押在一场比赛上，不论输赢，马场都会从中扣除14％至25％的抽头。只有保证内部情报的高度准确，才能抵消马场抽头带来的损失。
凯利认识到了这一点并描述了另一个更具实用性的〃赌信念〃下注策略的版本。下面讲到的策略和凯利在1956年那篇文章中所提出的下注策略有些出入，但这个策略更容易记忆，同时也可以在各种赌博性质包括证券投资的活动中应用。这种投资策略现在被称为〃凯利公式〃。
根据凯利公式，在占有优势的情况下，下注金额和本金的比例应该等于优势与赔率的比例。
优势指的是你希望从赌博中获得的收益的平均值，也就是把所有下注收益加权平均所得的结果。优势之所以以分数形式表示，原因在于优势是期望利润和下注金额二者之间的比率。
赔率指公开赔率或赌金揭示牌上公布的赔率。赔率指你赢钱的回报倍数。一般赔率采取几比几的形式，如8∶1，指赢家得到的回报相当于下注金额的8倍，同时，投注的本金也要返给赢家。
根据凯利公式，赔率有时不能准确地反映概率。原因在于，赔率是由各种市场力量确定的，是所有人关于某匹赛马能否获胜的预期相加之后经过平均得到的值，而公众的预期可能是错误的。事实上，只有在公众预期不准确的条件下，才能保证按照凯利公式下注的赌徒能够占有优势。根据凯利公式，赌徒在下注时依据的是内部情报，而不是公开的赔率。
举个例子：赛马秘书长的赔率是5∶1。
赔率采取分数形式表示，5∶1相当于5/1或5倍。也就是说，赌徒期望的回报是下注金额的5倍。
根据私人线路提供的内部情报，你了解到赛马〃秘书长〃在比赛中获胜的概率只有1/3。也就是说，如果在〃秘书长〃身上押100美元，你有1/3的概率连本带利收回600美元。平均下来相当于200美元，净利润为100美元。你在这次下注中的优势等于100美元的利润除以一百美元的本金，结果是一。
根据凯利公式的计算，优势和赔率的比值是1∶5，所以，你应该把全部赌本的1/5押在秘书长身上。下面我们来详细解释一下：首先，在没有内部消息的情况下，优势为零或负值；如果没有内部消息，你和普通公众一样对比赛结果无法预知，所以优势为零（如果和赛马场相比，你的优势自然就是负值了）。在优势为零时，根据凯利公式，优势与赔率的比值也就是零；在这种情况下，唯一的选择就是不要下注。
如果某次比赛事先确定了胜负，那么就相当于优势和赔率二者相等。私人线路能提供的最珍贵的内部情报就是马场比赛的胜负已经事先确定，某匹马一定会获胜。在这种情况下，你能赢多少钱就完全取决于赔率定在多少了。理想的情况是，大多数人对事先确定获胜的那匹马不看好。如果赔率定在30∶1，你每押100美元就能相应获得3000美元的回报。如果所有人都知道某匹赛马肯定获胜，那么你的优势和公众赔率就完全相同了（值为30）。根据凯利公式，相当于30∶30，也就是100％。你要做的就是倾囊而出，押上所有的钱。
当然，如果你对操纵比赛的人的信用心存怀疑，就另当别论了。这样，〃模糊度〃就会降低你的预期的优势值。凯利公式的一个方程等式与爱因斯坦的相对论有些相似：
Gmax=R
公式中的G指投资者资金的增长率，表示下注方所投入资金的复利回报率。G旁边小写的max指公式中所列的增长率为可能达到的最大增长率。
第33节：第一章（29）
凯利用R来表示最佳收益值，在申农的理论中，这个值相当于信息传输的速率；最大收益率相当于〃内部情报〃的传输速率。
在爱因斯坦的有生之年，大多数人对E=mc2这个公式都摸不着头脑，因为，物质和能量当时还是完全不同的概念。凯利的公式也受到了同样的质疑：钱怎么能和信息相提并论呢？比特和字节这样的单位怎么能和美元、日元、英镑进行转换呢？
首先，我们要说明的是，货币单位在这里无关紧要。Gmax描述的是回报率的值，也就是每个年度中所获得的收益的百分比，或多少个基点（每个基点相当于一个百分点的百分之一年收益）。7％的收益就等于7％的收益，不论采取哪种货币单位衡量。
同时，R指的是每个时间单位所传输的信息的比率，单位是比特或字节。公式两边的时间单位必须相同。如果你在衡量投资回报时使用年度百分比作为单位的话，在衡量信息传输速率时就要相应地使用每年度多少比特或字节作为单位。
今天，赛马情报通常使用移动电话或因特网来传送。在移动电话和因特网这些高带宽的通信渠道中，〃赛马'海洋饼干'万无一失〃这条简单的信息可能会用数以十亿计的比特来传送。带宽中更多的会是与情报提供方无关紧要的谈话。
很明显，无关紧要的谈话对于赌徒的潜在收益没有任何帮助。同样，对于只需要用几个比特就可以传送的文本信息，完全没有必要使用人声通信渠道。凯利公式只是为使用某个带宽的通讯渠道所能获得的利润设定了上限。只有在通过最少比特的信息来通知获胜马匹的情况下，才能保证利润达到最大值。设想一下在很早以前使用电报业务传送赛马信息时的情景，当时由专人坐在赛马场上，用镜子的反光把比赛结果以最快的时间通知给电报发报员。通知参赛的8匹马中哪匹赛马获胜的最简洁的方法就是使用三字节编码。用三字节编码可以表示八个二进制数位组合，分别为000，001，010，011，100，101，110，111，如果每匹赛马对应一个数字组合，只需要三个字节就能把情报传送出去了。
如果情报百分之百可靠的话，赌徒就可以根据情报把全部赌本押在获胜赛马的身上。在赛马场上，所有参赛的8匹赛马的获胜机会被认为均等。所以，如果事先知道哪匹马获胜然后下注，赌徒每押一美元就能得到8美元的收益。如果按照凯利公式操作，在能够保证用三字节编码传送的情报为准确的前提下，赌徒每次下注都能把本金增加8倍。请注意，8等于2的3次方，在这里3是一个幂数，决定着赌徒资产的增值速度。同时3这个幂数与情报传输时的比特数位相同。在更加现实的情况中，内部情报不能保证永远准确。所以，必须根据模糊度打个折扣，这样，每场比赛的实际信息传输速率就小于3比特。在内部情报不准确的情况下，赌徒的资产增值速度也会相应减缓。
根据爱因斯坦E= mc2的公式，一小块物质中所包含的能量可以维持一座城市的运行，或将一座城市毁灭。根据Gmax=R这个公式，只需要几个字节，你就可以得到令任何投资经理人和高利贷放贷人为之羡慕的投资回报率。如果有场拳击比赛事先做了手脚，你只要得到一个比特的情报（单位可以是年或其他任何时间单位），比如听到关于哪个拳手获胜的只言片语，在赔率均等的情况下，你就可以把投入的资金翻上一番。
如果用华尔街的话来描述Gmax=R这个公式的话，那就是，一个比特的信息相当于一万个基点。
形象问题
在数学理论上，凯利设计的下注策略一般被称为〃凯利标准〃或者叫〃凯利公式〃。不论从事哪种赌博活动，凯利标准都能为你带来最大收益。在实际操作中，最大的问题就是找到内部情报可以发挥作用的投资领域。凯利发现了一个这样的投资领域：股票市场。平均来说，敢于在股市中〃赌一把〃的人所获得的收益要比那些选择债券和储蓄等安全投资方法的人要高得多。当时埃尔温伯莱坎普在贝尔实验室给凯利做助手。根据他的回忆，当时凯利曾说过，赌博与投资的唯一区别就是形象问题。形象好的下注行为叫〃投资〃，形象不好的下注行为被称为〃赌博〃。
第34节：第一章（30）
凯利在1956年的论文中，就表示了通过投资来检验自己的理论的想法。虽然凯利在论文中采用的模型来自实际生活中的赌博行为，但凯利的理论能否应用于某些经济活动还是个未知数。要想证明凯利提出的理论是否正确，就必须保证投资回报率为正值，而且必须对不同投资活动投入的资金量进行控制。凯利理论的〃信息传输渠道〃可以和某个现实的通讯渠道相对应，也可以概括为投资者能够得到的所有内幕情报的总和。
〃投资者能够得到的所有内幕情报的总和〃可以构成被认为违法的内幕交易行为。曾经有人问申农什么样的〃信息〃能在股票市场上应用，申农的回答有些出人意料：〃内幕信息。〃
在拥有信息优势的同时不能违反法律。根据凯利的系统，投资者如果拥有研究团队或建立了计算机模型从而提高对股票证券的价值的判断，与一般公众相比就拥有了信息优势。但我们必须承认的是，凯利系统在道德规范方面始终存在模糊地带。在描述他的系统时，凯利总是会拿一些不道德的市场行为举例子（人为操纵的赛马和竞猜答题的骗术等）。他的潜台词是，凯利系统所利用的机会都是人们不经意间制造提供的。在利用凯利系统赢利的同时，投资者必须对自己的行为保密。如果把温差完全消除，蒸汽机车就无法运行。同理，如果他们拥有的信息公之于众，利用凯利系统赚钱的人也就只好收手了。凯利系统的关键就是保守秘密，也可以称之为熵，或信息的退降。
凯利把论文投到了贝尔系统技术期刊。ATandT公司的一些高管人员读过凯利的论文之后，对其中的道德灰色地带有些顾虑，同时觉得论文标题《信息论与赌博》有些不合适，担心报刊媒体会抓住这个把柄指责贝尔实验室把科研结果用于推动非法活动。由于当时各地的庄家仍然是电信运营商的主要客户，ATandT公司对与赌博相关的事情仍然很敏感。
凯利听从了公司高管的建议，把论文标题改成《对信息传输速率的重新诠释》，听起来更加低调一些。在申农的推荐下，凯利的这篇论文在1956年7月发表了，采用了新的标题。
在文章中凯利没有提到关于电视答题竞赛的内容。他当时无法知道的情况是，电视台经常会把要提问的问题和答案事先告诉某些参赛选手（这件丑闻直到1958 年才被揭露出来）。凯利在论文中举的例子是通过电报为赛马赌博传递情报，这种行为在当时非常典型。但采用这个例子却带来了凯利没有意料到的后果。
当时，美国联邦调查局局长埃德加胡佛一直以来都拒绝承认美国境内存在全国性的犯罪组织。在基福弗听证会之后，胡佛的口气略微软了一些。根据为胡佛写传记的作家的推测，当时胡佛认为由于犯罪组织背景过于深厚，政府胜算很小，所以决定暂时放弃追剿；还有人推测，由于胡佛一向反对共产主义，他认为那些自力更生白手起家的犯罪集团头目出人头地的过程反映了资本主义制度的优越性，所以对他们多少怀有些同情；也有人认为，当时梅尔 兰斯基和弗兰克科斯特洛手里有胡佛和一个男人同床共枕的照片，并借此要挟胡佛。
证据最充分的解释是这样的（当然这个解释也不排除上面的几种可能性）：每当赛马开始之前，胡佛和克莱德托尔森两人就会离开办公室，坐上防弹汽车到皮姆里科、鲍维或查尔斯顿等地的赛马场去。当时的新闻记者曾拍到过胡佛在两美元下注窗口的照片。而且，胡佛专门准备了一封道歉信，用于向投诉他赌马的公民赔礼。在信中，胡佛解释说他去赌马只是出于工作关系，而且每次下注的金额都很小。
在1979年出版的自传《联邦调查局：我在胡佛手下工作的三十年》中，曾在联邦调查局工作的威廉姆 苏里文写道：〃胡佛会暗中派联邦调查局的工作人员到100美元的下注窗口去下注。如果在赛马场上赢了钱，他会一连高兴好几天，工作上也会更好相处。
根据专栏作家沃尔特 温切尔和联邦调查局工作人员提供的情况，弗兰克科斯特洛经常给胡佛提供赛马的内部消息。如果当天的赛马由犯罪集团操纵，胡佛就能包赚不赔。温切尔与胡佛和科斯特洛都是朋友，所以经常替他们传递消息。这些情报经常能让胡佛发笔小财，也许正是因为这点，胡佛才一直不愿意调查科斯特洛和他的犯罪团伙。第35节：第二章（1）
1972年胡佛去世时，科斯特洛曾对美国司法部的一位高级官员说：〃胡佛的赌运简直糟糕透顶，你永远想不到我为他操纵了多少次赛马。〃
珍珠项链
1961年1月，美国数学学会在华盛顿举行了冬季会议。爱德华 索普参加了这次会议；在会议期间，索普把由申农推荐至国家科学院杂志发表的那篇论文做了修改并在会议上宣读。由于这次的听众不是国家科学院学刊的读者，所以论文标题定为《财富公式：二十一点的制胜策略》。
这个论文标题引起了美联社在华盛顿的一位记者的注意。索普接受了这位记者的即兴采访并拍了几张照片。1月21日早上，《波士顿环球报》的头版刊载了关于这篇论文的一篇专题文章，并很快在美国国内的多家报纸转载。
在此之后的几天，索普住的酒店就不断接到来自美国各地的电话，都是对赌博感兴趣的人，希望索取索普的论文。有的想购买索普二十一点理论的专有权，有的想当面请教，还有些人希望为索普提供资金，在赌场赢了钱后再按比例分成。
甚至在索普回家之后，仍然不断接到这样的电话。索普的妻子维维安光电话记事簿就用了好几本儿。后来干脆拒绝再为索普接电话。每次电话响起，夫妻俩都要吵上一架。索普的小女儿甚至形成了条件反射，电话铃声一响就哇哇大哭。
索普在麻省理工学院和数学系的其他教授合用6个秘书。由于这篇关