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到国际一流水平；三是创造一种适合数学研究的气氛，即创造一个生产数学
的锻炉。波兰后来在华沙和里沃夫形成了专攻集合论、拓扑学和泛函分析的
队伍，许多成果是世界一流的。他们先后创办了《数学基础》和《数学研究》
杂志，获得极大成功，并赢得国际声誉，吸引了世界一流数学家的来稿，同
时把波兰数学界的成果交流到国外。《数学研究》杂志专登泛函分析方面的
文章。波兰学派中里沃夫学派的领导人之一是著名数学家巴拿赫，他在泛函
分析等方面的工作在数学界以深刻和概括著称。第二次世界大战中，波兰被
希特勒法西斯占领。2/3有学位的数学工作者在战争中丧失生命；巴拿赫迫
于生计而改行到生物试验中心工作，1945年病逝；劫后余生者后来不少去了
美国。
（2）哥廷根数学学派
20世纪初，数学大师高斯、黎曼（1826—1866）等曾执教过的哥廷根大
学就已成为世界数学的中心。哥廷根学派中有杰出的数学家希尔伯特、闵科
夫斯基、克莱因（？—1918）和在抽象代数的创立过程中作出了重要贡献的
女数学家埃米·诺特等。
希尔伯特是20世纪最伟大的数学家之一，他对数学的贡献是多方面。
他早期的研究领域涉及代数不变式问题、代数数域论等，孕育了女数学家爱
米·诺特为代表的抽象代数学派。后来，他在变分法、积分方程、泛函分析、
物理学等领域均作出了突出的贡献。在世纪之交的1900年，他发表了著名
数学演讲，列出了23个在新的世纪里数学家应当努力解决的问题，为新世
纪中的数学发展揭开了充满挑战性的、光辉的一页。这些问题在相当程度上
左右和导引了20世纪数学的发展和研究方向。
克莱因于1872年发表的“爱尔兰根纲领”演讲，总结了各种新几何学
的发展，指出其结构上的一般原则，并用变换群的观点作为几何学分类的基
础，带来了一次深刻的思想变革。
闵可夫斯基曾是爱因斯坦在苏黎士时的老师，后来任哥廷根大学的数学
教授。1907年，他首创四维时空理论，在通常的三个空间坐标的基础上，引
进了第四个坐标 ict，用四维坐标描述时空中发生的事件及事件的变化规
律，将爱因斯坦狭义相对论表述成非常简洁、优美的数学形式。闵可夫斯基
的工作引起了科学界对爱因斯坦所进行的相对论革命的注意，他还十分有预
见性地指出，爱因斯坦的思想对近代人们的思维将产生深远的影响。
哥廷根大学数学系的办学传统中有几个“一”：一间开架阅览室，一条
陈列数学模型的走廊，每周一次讨论班等。学派的组织者强调纯粹数学和应
用数学并重，强调人才培养和国际学术交流等。30年代，希特勒迫害犹太人
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的黑色恐怖笼罩了哥廷根，几乎所有的哥廷根学派成员都被迫移居美国，哥
廷根学派完全衰落了。抽象代数的奠基人、女数学家诺特于1933年去了美
国。最后被迫离开哥廷根的，是希尔伯特的接班人、数学家柯朗。他曾是希
尔伯特的助教，后来接任了希尔伯特的职务，20年代写有大量论文，他的《数
学物理方程》第一卷，是20世纪数学名著之一。柯朗在筹建哥廷根数学研
究所中有突出贡献。在希特勒的全国性“排犹活动”中，祖籍犹太人的柯朗
也难于幸免。 1934年8月，应纽约州立大学的聘请，柯朗抵达美国。第二
次世界大战中，柯朗领导的纽约州立大学战时应用数学小组，发挥了很大作
用，在水下声学和爆炸理论、喷气机设计、超音速空气动力学等方面均有出
色成果。柯朗还把建设哥廷根数学研究所的经验带到美国，用自己的才华又
建立了另一所数学研究所——纽约大学数学研究所，使纽约大学成为美国的
两大数学中心之一。
（3）法国布尔巴基学派
法国布尔巴基学派诞生于1939年。自那一年起，有一套丛书《数学原
本》开始陆续出版，作者署名N·布尔巴基。这一套丛书从一般的基本定理
开始，逐步深入各种各样的数学专门领域，是关于现代数学的综合性丛书，
被许多人阅读和引用，在研究“结构”方面颇有影响。
布尔巴基应作为20世纪中最有影响的数学人物之一被载入史册。然而，
实际上并没有N·布尔巴基这么个人。后来，人们才了解到，布尔巴基只是
一个非正式的数学家集体所使用的笔名。这个笔名的来历与法国的一位将军
C．布尔巴基（1816—1897）有关。南希城有这位将军的塑像，而布尔巴基
学派中的许多人住在这个城市。
布尔巴基班是由1924年进入巴黎高师数学系的一群年青人发起的。他
们的授课老师中，不少人在数学方面卓有成果，如以波莱尔可测函数等著称
的波莱尔（1871—1956）、勒贝格（1875—1941）和以解析函数正规族出名
的蒙戴尔等。 1927年，受到当时现代数学蓬勃初创的鼓舞和范德瓦尔登整
理代数学的著作《近世代数》的启示，他们决心组织起来，把数学重新整理
一遍。于是，便有了布尔巴基学派的开端。他们的固定成员有10名，平时
分散各地，每三个月聚会三天，每天下午有两个演讲共三个小时，其余时间
是讨论、交谈。早期的布尔巴基班以讨论时短兵相接，激烈地展开批判反批
判而著称，局外人有“疯子集会”的印象，但这也正是他们能保持生命力，
取得成功的原因之一。
到1972年，《数学原本》丛书已出版34卷，而且仍在继续撰写和出版，
布尔巴基集体仍保持着活力。集体中的成员到了50岁则必须退出，但仍可
以参加聚会、讨论和发表意见。老成员退出集体后，发表东西就要用他们自
己的名字来署名。该组织的成员曾有不扬名的誓言，但后来他们的名字对于
数学界已是不公开的秘密了。布尔巴基学派的较早期成员中有狄多涅（1906
—）、韦尔 （1906— ）、舍瓦莱（1909— ）、德萨特，波兰人爱伦伯格
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（1913—）是唯一的外籍人。第二次世界大战后，系统地发展了广义函数论
的施瓦兹（1915—）等人的参加，为学派更深入的研究作出了很大贡献。这
一数学学派在代数拓扑学、代数几何学、代数数论、群论、泛函分析等方面
都颇有影响。
（4）崛起的苏联数学学派
苏联20年代后发展起来的列宁格勒函数论学派中，最著名的是康托诺
维奇 （1912—），他在集合论、半空间泛函分析、泛函近似计算方面有突出
贡献，另外，他还于1939年撰写了规划论的第一部成形著作《生产组织与
计划中的数学方法》，发展了有利于国民经济的规划理论，荣获诺贝尔经济
学奖。莫斯科学派于20年代之后发展迅速，学派中最著名的人物是柯尔莫
哥洛夫（1903—）。他最初致力于三角级数、逼近论、测度论等方面的研究，
后来又涉及了拓朴学、力学和逻辑等，而最杰出的工作在概率论方面。
概率论是研究偶然、随机现象的规律性的数学理论。 17世纪中叶产生
的古典概率论，其主要工具是排列组合理论。概率论与解析方法相结合后引
出了正态分布、大数定理和最小二乘法。概率论的一个重要分支是随机过
程。 1906年，俄国数学家马尔科夫（1856—1922）研究随机过程，首先提
出了马尔科夫过程，其大意是：一个体系将来的发展只与体系现在的状况有
关，而与体系过去的历史无关，液体中粒子的无规则运动——布朗运动就是
马尔科夫随机过程的一个典型例子。
柯尔莫哥洛夫于 1939年将概率论公理化，巧妙地将实变函数论、测度
论和集合论用于概率论的研究。在极限定理和随机过程的研究中柯尔莫哥洛
夫也取得了重大成果。 20世纪20至30年代，被称为是概率论的英雄时代，
而苏联的概率论学派为现代概率论的发展作了许多工作。第二次世界大战后
形成三个概率论研究中心，苏联学派是当时最强的一个，其余两个分别在法
国和美国。
这一时期中，苏联的泛函分析学派和代数学派等，都有过出色的工作，
苏联的数学家在许多数学领域中作出了突出的贡献，例如，提出索波列夫空
间，解决希尔伯特第七个问题，关于解析函数边值理论的工作，提出对偏微
分方程的分类等。
第二次世界大战前，美国数学人才的培养要依赖欧洲，每年都有大批留
学生到法国巴黎和德国的哥廷根求学。 30年代起，美国出现了一批重大的
数学成果和国际上一流的数学家。希特勒上台后，犹太人和进步知识分子受
到迫害，欧洲的许多数学人才来到了人才政策宽松的美国，大大推动了这里
的数学和其他科学的发展。
3．应用数学的发展
近、现代数学中，把那些由数学学科本身内在的矛盾而推动发展的数学
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分支，即数学基础理论称为纯粹数学，而把解决生产和生活实际需要的数学
理论称为应用数学，后者在纯粹数学与其他科学技术之间起桥梁作用。
20世纪上半叶，应用数学领域的突破性发展，集中表现在运筹学与自动
控制方法的创立，以及第一台电子数值积分机和计算机的研制，它们都是应
战争的需要而产生的。有关计算机的研制和诞生的过程本书已有专章叙述。
早在1938年，英国空军就有了飞机定位和控制系统，并在沿海设立了
几个雷达站，以便监视敌机的动向。在后来的一次空防大演习中，他们发现，
这些雷达送来的信息，必须加以协调和关联，才能改进作战效能。为了解决
这一问题，英国空军成立了运筹学小组，从事警报和控制系统的研究，以便
更合理地布局，有效地发挥雷达等先进的设备的作用，实现用少量战斗机压
倒多数的德军战机的目的。此后的两年里，这个小组的任务扩大到防卫战斗
机的布置，以及对某些战事的结果进行预测等方面。运筹学的英文
Operations Research，原意是指作战研究。英国物理学等方面的不少专家
也参加了这一方面的研究。
运筹学工作者在第二次世界大战中研究并解决了战争中出现的许多课
题，如有效地训练技术员和战斗员，以最少人力取得最佳效果的问题；武器
兵力的配备部署问题，如适当配备护航舰队以减少船只受潜艇攻击的损失；
改进深水炸弹的投放，提高对德国潜艇的攻击率等；还有军需物品的运输、
装备性能的估价等问题。
美国后来也着手研究运筹学，并在太平洋战争中得到应用，收到了很好
的效果。
由于运筹学和自动控制技术在战争中的应用，实现了作战科学化，有力
地增强了盟军对法西斯势力的威力。
此外，在第二次世界大战中，以运筹学为基础的检验产品质量的质量管
理工作也逐步开展，这一方面的成果在战后的企业生产中发挥了很大作用。
第二次世界大战结束时，英国、美国和加拿大等国的军队中，运筹学工
作者有700多人。大战结束后，原来在军队中从事运筹学工作的人在英国成
立了一个民间组织——运筹学俱乐部，定期讨论如何将运筹学民用化的问
题，并取得一定成果。1950年，第一份运筹学杂志《运筹学季刊》在英国创
刊。 1952和1953年，美国和英国分别成立了运筹学学会。
运筹学后来在运输、建筑、纺织、钢铁、煤炭、农业等各个经济部门得
到了初步的应用。随着这门学科应用和研究的深入与发展以及研究成果的汇
集，逐渐形成了运筹学的系统理论。
1959年，国际上成立了运筹学会联盟。中国于1980年成立了运筹学会，
并于1982年加入世界运筹学会联盟。
随着运筹学研究的日益广泛和深入，虽然出现了各种对运筹学的理解和
定义，但一般地认为，运筹学是研究经济活动和军事活动中能用数量来表述
的有关营运、筹划与管理等方面问题的一个主要的应用数学分支，为一切执
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行部门对他们控制下的业务活动采取对策时，提供数量上根据的科学方法。
利用运筹学解决千差万别的实际问题时，常常从以下的几个方面进行考
虑。首先是确定目标，搞清楚所提出的任务要达到的目的，还必须弄清或预
测随时间的推移，决策者的认识和管理人员的水平是否发生变化，如何变
化。一般来说，任务都是有时间性的，用于特定任务的人力、物力、财力都
是有限的。因此，确定目标后，必须制定切实的方案，订出几个大的步骤和
完成各步骤的时间。之后，是建立模型，对于一个大型的复杂问题，可考虑
将它分成若干小型的能独立进行的活动，收集有关的数据，确定问题所涉及
的各种因素，搞清楚哪些是给定的，哪些是可以改变的（即变量），哪些是
可以控制的，哪些是不确定的，并设法建立这些因素之间应满足的各种关
系，建立某种准则以衡量所作出的决策的效果。在模型初步确定之后，就要
考虑所采用的解法以及对随机因素的处理等，解法或模拟或用理论演算方
法，也可以利用运筹学发展过程中已形成的算法。
运筹学后来形成许多分支学科，如对策论、规划论、排队论、搜索论、
库存论、最优化方法、质量控制等分支。一个大型复杂的运筹学问题往往可
以分成若干子问题，每个子问题可能属于不同的分支。这里简略介绍几个分
支。
对策论又叫博弈论。它的创始人是美籍匈牙利科学家冯·诺依曼，他的
著作《对策论与经济行为》是这门学科形成的标志。对策论是应用数学方法
来研究有厉害冲突的双方在竞争性活动中是否存在着制胜对方的最优化策
略，以及如何找出这些策略等问题。后来发展为，不仅考虑只有两方参加的
竞争性活动，还考虑多方参加的竞争性活动，而且，在这些活动中，参加者
不一定是完全对立的，允许某种联盟出现。对策论可应用于军事斗争研究以
及人类改造自然的活动的研究中。
规划论是研究计划管理工作中有关安排和估值的问题，是因解决物资调
运问题的需要而产生的，包括线性规划、非线性规划和动态规划等分支。前
苏联的康托诺维奇、美国的丹西格在规划论的创立和发展中作了很多有价值
的工作。康托诺维奇于1939年撰写的《生产组织与计划中的数学方法》是
规划论的第一部成形著作；丹西格则首创了解决线性规划问题的“单纯形
法”，使得线性规划成为规划论以及整个现代应用数学中最成熟的分支之
一。规划论研究的一个典型问题是所谓的“运输问题”，即把数量和单位运
价都已给定的某种物资从一处运到另一处，要求在供销平衡的条件下定出流
量和流向，使总运费为最少。通常把必须满足的条件称为“约束条件”，把
衡量指标称为“目标函数”。如果目标函数和描述约束条件的方程都是线性
的，则称所规划的问题为“线性规划”，否则为“非线性规划”。如果所考
虑的问题与时间有关，则是“动态规划问题”。
排队论亦称“公用事业理论中的数学方法”或“随机服务系统理论”，
主要研究随机性的拥挤现象。例如，用户或顾客多时就会出现排队问题，等
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待时间长短、排队长度等概率性问题就是排队论要研究的。最早的著述是丹
麦数学家爱尔朗于1908年发表的《排队论在丹麦电话系统中的使用》。排
队论也正是起源于有关自动电话的研究。在自动电话系统中，由于通话时间
的长短和叫号次数的多寡都是不确定的，因此，如果增加线路，通话成功的
机会增大了，但线路闲着的机会也同时增大了，也就是说，服务质量和设备
利用率之间有了矛