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作为算符表述精致化的一个例子，我们考虑两个算符间的对易关系。若两个算符作用在一个函数上的次序是无关紧要的，则这两个算符对易。反之，若它们的作用次序改变结果，则这两个算符不对易。例如，用x乘以函数f（x），然后对x求导数，不会得到与先对f（x）求导数再乘以x相同的结果，这很容易验证。不对易的算符具有不同的本征函数；反之，对易的算符具有公共本征函数。
著名的海森伯不确定性原理就是根据量子理论中所定义的坐标算符与动量算符不对易而得出的。在所有的量子力学教科书中都显示，在“坐标表象”中对应于坐标的算符qop具有本征值，这些本征值是量子客体的坐标，所以算符qop等同于经典坐标q；而动量算符pop被导数算符 所定义，它是q的导数。所以，qop和pop这两个算符不对易，它们没有公共的本征函数。在量子力学中，我们可以使用各种表象。除了坐标表象外，我们还有动量表象，在动量表象中，动量算符就是p，坐标由导数算符表示。无论是什么表象，这两个算符都不对易。
算符qop和pop不对易这一事实意味着，我们不能确定坐标和动量均有明确值量子客体的状态。这是海森伯不确定性反应的根源，它迫使我们放弃经典物理学的“朴素实在论”。我们能够测量某个给定粒子的动量或者坐标，但我们不能说这个粒子的动量和坐标两者均有确定值。这一结论是海森伯和玻恩等人在60年前得出的。然而，关于不确定度关系含义的讨论仍在继续，甚至有一些科学家迄今仍然没有放弃恢复经典力学的传统确定性实在论的希望。这正是爱因斯坦不满意量子理论的一个原因。我们应当注意，海森伯不确定性原理与自然之确定性时间对称描述（即薛定谔方程）是相容的。
我们说量子系统处于一个特定的“态”的时候，是什么意思？在经典力学中，态是相空间的点。在量子理论中，态由波函数描述，其时间演化由薛定谔方程所表达。
这一方程将波函数Ψ的时间导数等同于作用在Ψ上的哈密顿算符。它不是推导出来的，而是一开始就假定的，故只能由实验来验证其有效。它是量子理论中的基本自然法则。＇注＇注意它在形式上类似于第五章第III节中的刘维尔方程。其基本差别是，刘维尔算符L作用在分布函数ρ上，而Hop作用在波函数上。
＇注＇薛定谔方程和相对论性秋拉克方程有各种扩展，但是我们这里的讨论不需要它们。
我们已经提到，波函数对应于概率幅。引导薛定谔表述他的方程的，是与经典光学的类比。与经典力学的轨道方程形成对照，薛定谔方程是波动方程。薛定谔方程是偏微分方程，因为除了时间导数之外，Hop中还出现对坐标的导数（记住在坐标表象中，动量算符是对坐标求导数）。但经典方程和量子方程有一个共性：它们都对应于确定性的描述。一旦任意时刻t0的Ψ已知，加上适当的边界条件（例如在无限远处Ψ→0），我们就可以计算未来或过去任一时刻的Ψ。在这一意义上，我们重建了经典力学的确定论观点，但它现在适用于波函数，而不适用于轨道。
像经典运动方程一样，薛定谔方程也是时间可逆的。当我们用…t取代t时，该方程仍然成立。我们只需用其复共轭Ψ*取代Ψ。因而，如果我们观察Ψ从t1时刻的Ψ1到t2时刻的Ψ2的跃迁（其中t2大于t1），我们也能够观察由Ψ2*向Ψ1*的跃迁。值得我们回想的是爱丁顿在量子力学早期的评论，他认为量子概率是“通过引入沿相反时间方向传播的两个对称行波系统而获得的”。事实上，我们看到，薛定谔方程是描述概率幅演化的波动方程。若我们取薛定谔方程的复共轭，也就是用…i取代i，用Ψ*取代Ψ（假设Hop是实数），用…t取代t，则我们回到薛定谔方程。因此，正如爱丁顿所述，Ψ*可视为向过去传播的波函数。再者，如第一章所述，概率本身通过｝与其复共轭Ψ*的乘积（即｜Ψ｜2）得到。由于Ψ*可理解为在逆向时间上演化的Ψ，所以概率的定义意味着两个时间（一个来自过去，一个来自未来）的相通。因此，在量子理论中，概率是时间对称的。
我们现在看到，尽管存在着根本性差异，经典力学和量子力学却都对应于确定性的、时间可逆的自然法则。在这些表述中，过去和未来没有区别。我们在第一、第二章注意到，这导致需要引入量子理论的二元表述所造成的时间佯谬。哈密顿量在经典理论和量予理论中都起核心作用。在量子理论中，它的本征值确定能级；而根据薛定谔方程，哈密顿量还确定波函数的时间演化。
像上一章中的情况一样，我们将关注哈密顿量H是自由哈密顿量H0与由相互作用所产生的一个项λV之和的系统，即H＝ H0＋λV。于是，此种系统的时间历史可以描述为这些相互作用引起的H0的本征态之间的跃迁。
只要我们仍然处在希尔伯特空间之中，H的本征值Eα就是实数（像刘维尔算符一样，H也是“厄米的”，厄米算符在希尔伯特空间里有实本征值）。波函数的演化是exp（－iEαt）这样的振荡项的叠加。然而，在量子力学中仍然存在不可逆过程，诸如玻尔理论中的量子跃变，激发原子通过发射光子或不稳定粒子而衰变（见图6．1），或者通过不稳定粒子衰变而衰变。
在传统量子理论的框架里，这些过程如何包含在希尔伯特空间内呢？衰变过程出现于大系统中。若激发原子保持在空腔里，则发射电子将弹回，就不存在什么不可逆过程。我们看到，波函数的时间演化由振荡项叠加或振荡项之和来描述。这个和因大系统的限制而成为一个积分，放需要新的特性。在如图6．1所描述的激发原于衰变情形中，概率｜Ψ｜2几乎随时间接指数衰变。几乎一词在这里至关重要：只要我们处在希尔伯特空间之中，无论对于很短时间（与电于绕原子核振荡的频率同数量级，即~10…16秒），还是对于很长时间（比如说10至100倍激发态的寿命，即~10…9秒），都存在与该指数的偏离。不过，尽管做了大量的实验研究，却尚未检测到对指数性态的偏离。这可真幸运，因为如果它们确实存在，将会给整个粒子物理学理论体系提出一系列严峻问题。
假定我们制备一束本稳定粒子，让其衰变；然后又制备第二束不稳定粒子。设想一下这样的怪异情形：不同时间制备的两束粒子具有不同的衰变定律，而且我们能够将它们区分开，犹如我们能够区别年长者和年幼者一样！这种怪事违背促使量子理论取得某些巨大成功＇注＇ 的基本粒子的不可分辨性原理。观测到的精确的指数性态，表明希尔伯特空间描述不当。我们将在下一节回到衰变过程，但这里我们应当注意，不要把此种过程与驱使系统趋向平衡的过程相混淆。图6．1 所示的衰变过程只把原子的能量传递给光子。
＇注＇这些成功包括超流体的解释和固态的量子理论。
III
我们看到，量子力学中的主要问题是求解哈密顿量的本征值，这一问题只在少数量子系统中能够精确解出。为了做到这一点，我们通常需要采用微扰方法。如上所述，我们从形为H=Ho＋λV的哈密顿量出发，其中H0相应于我们已经解出了本征值（“自由”哈密顿量）的哈密顿算符，V是通过所谓耦合常数又与H0耦合的微扰。我们假设已知本征值的解H0un（0）=En（0）un（0），且希望求解方程Hun=Enun，故标准步骤（即薛定谔微扰方法）是把本征值和本征函数都展开为耦合常数λ的幕级数形式。
微扰方法得到包括各阶λ方程的复现方案。这些方程的解意味着使用形如1/（En（0）…Em（0））的项，当分母为零时它变成不定式。这一情形再次对应于共振＇注＇ ，我们又一次遇到位于不可积系统的庞加莱定义之核心的发散问题。
＇注＇在量子力学中，每个能量E相应于由 E=（h／2π）ω所表达的频率ω。
然而，这里存在着根本差别。我们已经介绍了离散谱与连续谱之间的区别。在量子力学中，这一区别变得很关键。事实上，当谱是离散谱时，通过适当选择不受微扰的哈密顿量＇注＇，通常能够避免发散难题。由于一切有限量子系统都具有离散谱，因而我们可以推断它们是可积的。
＇注＇用更专门的术语来说，我们首先通过适当变换提高简并度。
我们转向包含激发原子、散射系统等大的量子系统时，情形就大为改观了。在这种情况下，谱是连续谱，我们又回到了LPS。第五章第V节提到的粒子与场耦合的例子也适用于量子系统。每当与粒子相关联的频率ω1和与场相关联的频率ωk相等时，就产生了共振。唯一的差别在于，频率在量子系统中与能量相联系。本征值Eα相应于频率（h/2π）ωα，其中h是普朗克常量。
图6。1相应于LPS的例子说明，每当两能级之间的能量差等于被发射光子的能量时，就会产生共振。
像第四章处理确定性混沌的情形那样，我们可以把本征值问题扩展到希尔伯特空间之外的奇异函数。薛定谔方程的形式解是Ψ（t）＝U（t）Ψ（O），其中 U（t）＝e…iHt；U（t）是把时刻t的波函数值与初始时刻t＝0的波函数值相联系的演化算符。无论t1和t2的符号如何，都有U（t1）U（t2）＝U（t1＋t2），故未来和过去扮演着相同的角色。这一特性定义所谓动力学群。在希尔伯特空间之外，动力学群分裂为两个半群，从而存在相应于激发原子的两个函数：第一个函数中φ1在未来呈指数衰减（φ1~e…t/τ）；第二个函数~φ1，在过去呈指数衰减（~φ1~et/τ）。这两个半群中只有一个能在自然界实现。在这两种情形里，都存在精确的指数衰减（与上一节描述的近似指数衰减呈对照）。这是伯姆（Arno Bohm）和苏达尚（George Sudarshan）研究得到的第一个此种例子，他们表明，为获得精确的指数律，避免在第II节提到的困难，希尔伯特空间必须被放弃。然而，在他们的方案中，核心量仍然是概率幅，量子力学的基本佯谬（波函数坍缩）仍未解决。如上所述，激发原子或不稳定粒子的衰变仅相应于能量从一个系统（激发原子）向另一系统（光子）传递。趋向平衡要求对量子理论进行基本修正。像在经典力学中那样，我们不得不从与波函数相联系的个体描述走向与系综相联系的统计描述。
IV
与经典力学相比，在从个体描述向统计描述的转变中，量子理论引入某些特殊特征。我们在第五章已看到，统计分布函数是坐标和动量的函数。轨道对应于δ函数（参见第一章第III节）。在量子力学中，与波函数相联系的量子态由自变量的连续函数来描述。我们不是取坐标作为自变量而考虑Ψ（q），就是取动量作为自变量而考虑Ψ（p）。海森伯不确定性原理不允许我们同时取二者。所以，量子态的定义仅涉及经典态定义中所用变量的一半。
量子态Ψ代表概率幅，相应的概率ρ由两个概率幅Ψ（q）和Ψ*（q'）之积给出，故p是两组变量q和q'或者p和p'的函数，我们可以写作p（q，q'）或者p（p，p'）。第一式对应于坐标表象，第二式对应于动量表象，它们对我们特别有用。在量子力学中，概率ρ常常被称为“密度矩阵”（像在代数中学过的那样，矩阵也有两个指标）。已知Ψ的方程（薛定谔方程），我们不难写出ρ的演化方程。ρ的演化方程是量子刘维尔方程，其显式为 ；它是ρ与H的对易式。这表明，当ρ是H的函数时，我们有平衡情形。于是 ，因为H与它自身的函数对易。
我们已考虑了相应于单个波函数的分布函数ρ。我们还可考虑ρ相应于各种波函数“混合”的情形。刘维尔方程在这两种情形里保持不变。
对于可积系统，统计表述并没有引入新的特征。假设我们已知本征函数φα（p）和H的本征值Eα，则L的本征函数是积φα（p）φβ（p'），本征值是差Eα…Eβ。推导H和L的谱表象问题是等价的。
L的本征值 Eα－Eβ直接相应于光谱学中测得的频率，分布函数ρ的时间演化是振荡项的叠加，这里再一次没有趋向平衡的方案。而且，对于我们可以就哈密顿量推导本征值的那些情形，L的本征函数，如φα（p）φα（p），对应于刘维尔算符的零本征值Eα…Eα=0，故为运动不变量。所以系统是可积的（如同非相互作用粒子的系统），且不能达到平衡。这是量子佯谬的一种形式。
我们现在清楚地看到，将波函数扩展到希尔伯特空间之外是不够的。如第III节所指出的，这会得到一个形如 Eα＝ω…iγα的复能量，其中ωα是实部，γα是描述激发原子或不稳定粒子衰变的寿命，但这仍然不能解释与趋向平衡相联系的不可逆过程。尽管Eα呈复数形式，但ρ的所有对角元都是积φα（p）φα（p'），故它们都是不变量，因为本征值Eα…Eα再次为零，系统仍为可积的且不能趋向平衡*。
*用Eα…Eβ*（Eβ*是Eβ的复并轭）代替Eα… Eβ时会出现困难，这里Eα…Eα*=…iγα≠0，不存在平衡态。
玻尔原子理论及随后出现的量子理论的实验基础，建立于里兹…里德伯定则之上，按照这一定则，光谱学中测得的每个频率v是代表两个量子能级的Eα和Eβ这两数之差。然而，对于产生使系统趋向平衡的不可逆过程的系统，这不再成立。因此，量子理论必须得到根本性的修正。
从历史上看，力学的根基位于两个物理学分支：使普朗克于1900年引入他的著名常量的物质与辐射之间的热平衡，以及使里兹…里德伯定则到玻尔原子，最后由海森伯（1926）到量子理论的光谱学。然而，这两个领域之间的关系从未被阐明。我们看到，里兹…里德伯定则与普朗克的工作所描述的趋向热平衡不相容。因此，我们需要一个使热物理学与光谱学相容的新表述。这可以在概率分布层次上实现，由此我们能导出可观测的频率（包括其复数部分），但这些频率不再是我们预期趋向平衡的系统的能级之差。我们必须在更一般的函数空间求解LPS的量子刘维尔本征值问题。像在经典力学一样，这将包含两个基本成分：导致奇点的退定域分布函数，和导致新动力学过程的庞加莱共振。像在经典动力学一样，在统计层次上出现的新解不能约化为量子力学传统的波函数表述，且不再满足里兹…里德伯定则。在这一意义上，我们可以真正谈论量子理论的新表述。
V
作某种修正后，我们可以仿照第五章对经典系统给出的概率表述。刘维尔方程的形式解为 ，其中Lρ在量子理论里是哈密顿量与ρ的对易式（Lρ=Hρ…ρH），它可以写为ρ（t）=e…iHtρ（0）e＋iHt，或者ρ（t）=e…iHtρ（0）。这些方程有什么区别？在第一个表述中，我们有两个独立的动态演化：一个与e…iHt有关联，另一个与 e＋iHt有关联；一个向“未来”演化，另一个向“过去”演化（当t被一t所代替时）。如果是这样的话，我们预期没有时间对称性破缺，统计描述能保持薛定谔方程的时间对称性。当我们包含与两个时间演化（e…iHt和e＋iHt）耦合的庞加莱共振时，情况就不再是这样。现在只存在唯—一个独立的时间演化（时间有“一维”）。为了研究时间对称性破缺，我们必须从式ρ（t）＝ e…itLρ（O）出发，此式描述刘维尔空间中的单一时间序列。换句话说，我们必须按照单一时间序列来安排动力学事件。＇注＇于是，与在经典力学中相同，我们可以把相互作用描述为被自由运动所分开的相继事件。在经典力学中，这些事件改变了波矢k和动量p的值。我们在第五章介绍了导致关联产生和关联消灭的各种事件，看到对于LPS而言，决定性的因素是新事件（图5．7中的气泡）出现，这些新事件与关联产生和关联消灭耦合。由于它们引入了扩散，打破了确定论，破坏了时间对称性，所以从根本上改变了经典动力学。我们也可以在量子力学中确认相同的事件。为此，我们需要在量子力学中引入变量，其作用如同波矢k在经典理论的傅里叶表示中所起的作用。在经典力学中，我们从统计表述出发，其中分布函数 ρ（q，p）表达为坐标q和动量p的函数。然后，我们进行包含波矢k和动量的傅里叶变换ρk（P）。
＇注＇如果不这么做，我们就必须十分谨慎。费恩曼著名的表述，即电子向未来传播，正电子向过去传播，它指的是按照单一时间序列安排动力学事件之前出现于�