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我们如何在统计层次上求解动力学问题？首先我们必需确定分布函数ρ（x），以便能观察到复现关系 ρ n＋1（x）=U ρ（x）。（n＋1）次映射后，分布函数ρ n＋1（x）由作用于 ρ n（x）上的算符U所得到，ρn（x）是n次映射后的分布函数。在经典力学和量子力学中我们将遇到同一类型的问题。至于其原因，我们将在第六章解释。算符表述首先是在量子理论中引入的，然后扩展到了其他物理学领域，最有名的是统计力学。
算符不过是如何作用在给定函数上的一种规定而已，它可以包括乘法、微分及其他任何数学运算。要定义算符，我们必须明确其使用范围。算符作用于什么类型的函数上？这些函数是连续的，有界的，还是具有其他性质？这些性质定义了函数空间。
一般说来，算符U作用在函数f（x）上会把它变换成不同的函数。（例如，若U是一个导数算符 d/dx，则Ux2＝2x。）但是，有些函数当我们用U作用于它们时保持不变，它们只是乘上了一个数。这些特殊的函数称为算符的本征函数，与本证函数相乘的那个数称为本征值。在上面的例子中，ekx是一个本征函数，相应的本征值是k。算符分析中的一个基本定理指出，我们可以用算符的本征函数和本征值来表达算符，本征函数和本征值都依赖于函数空间。其中特别重要的是所谓“希尔伯特空间”，它已被从事量子力学研究的理论物理学家仔细研究过。它包括诸如 x或sinx此类的“正经函数”，但不含我们将不可逆性引入到统计描述之中所需的奇异广义函数。物理学中每一个新理论都需要新的数学工具。这里，对于不稳定动力学系统来说，基本的创新之处是，我们必须走出希尔伯特空间。
在阐述了这些预备知识之后，我们再回到伯努利映射。在这种情况下，我们很容易推导出演化算符U的显式，从而得到ρn＋1（x）＝Uρn（x）=1/2＇ρn（x/2）＋ρn（（x＋1）/2）。这个方程意味着在（n＋1）次迭代之后，点x处的概率ρn＋1（x）由点x/2和（x＋1）/2处的ρ n（X）值所确定。作为U形式的结果，若ρn是常数且等于α，则ρn＋l也等于α，因为Uα＝α。一致分布ρ＝α，对应于平衡态。它是通过推移迭代，对于n→∞时得到的分布函数。
相反，若ρn（x）＝x，我们求得ρn＋1（x）=1/4＋x/2。换句话说，Ux＝1/4＋x/2。算符U的作用是将函数x变换成另一个函数1/2＋x/2。但是，我们不难求如上所定义的本征函数，即由算符乘以常量而复制一个相同的函数。在例子U（x…1/2）＝1/2（x…1/2）中，本征函数是x…1/2，本征值1/2。若我们重复伯努利映射n次．则得到Un（x－1/2）=（1/2）n（x…1/2），当n→∞时．它趋于0。因此，（x…1/2）对 ρ（x）的贡献以与李雅普诺夫指数相关的速率被很快衰减。函数x－1/2属于一簇叫伯努利多项式的多项式，记为bn（x），它们是具有本征值为伯努利多项式的叠加形式时，高次多项式首先消失，因为它们的衰减因子较大。这就是分布函数很快趋于常量的原因。最后，只有B0（x）＝1幸存。
现在，我们必需用伯努利多项式来表达分布函数ρ和佩龙…弗罗贝尼乌斯算符U。然而在我们描述结果之前，我们应当再次强调“正经函数”与“奇异函数”（又称广义函数或者广义分布，不要把它和概率分布相混淆）之间的区别，因为这至关重要。最简单的奇异函数为 δ函数δ（x）。我们在第一章第III节中看到，δ（x－x0）对于x≠x0。的所有值均为零，对于x＝x0则为无穷大。我们已经注意到，奇异函数必须与正经函数一道使用。例如，若f（x）是一个正经连续函数，则积分∫dx f（x）δ（x－ x0）＝f（x0）有明确定义的含义。反之，包含奇异函数之积的积分，诸如∫dx δ（x－x0）δ（x－x0 ）＝δ（0）＝∞发散，故无意义。
我们的基本数学难题是，用本征函数和本征值来定义算符U，这称为算符U的谱表示。一旦我们有了这种谱表示，就可以用它表达Uρ，即佩龙…弗罗贝尼乌斯算符对概率分布ρ的作用。这里，我们得到了一个对于确定性混沌来说非常重要的情形。我们已经得到了一个本征函数集合，伯努利多项式（x），它是正经函数，但是仍存在另一个集合~Bn（X），它由与δ函数的导数相关的奇异函数构成。为得到U的谱表示和Uρ，我们需要这两个本征函数集合。结果，伯努利映射的统计表述只适用于正经概率函数ρ，而不适用于对应于由δ函数所表示的奇异分布函数的单一轨道。U的谱分解用于δ函数时包含发散且无意义的奇异函数之积。个体描述（用δ函数表示的轨道）与统计描述之间的等价性被打破了。然而，对于连续分布ρ，我们得到超出轨道理论的一致结果。我们能够计算趋于平衡的速率，从而得到一个在伯努利映射中发生的不可逆过程的明晰的动力学表述，这个结果证实了我们在第一章第III节中的定性讨论。概率分布考虑了相空间的复杂微结构。用轨道对确定性混沌进行描述对应于过分理想化，不能够表达这种趋向平衡。
这里，我们遇到了现代数学中的几个最紧要问题。事实上，我们将在第五章和第六章看到，确定本征函数和本征值是统计力学和量子力学的核心问题。对混沌也一样，这里的目的是用算符（例如U）的本征函数和本征值来表达算符。我们成功地做到了的时候，就得到了算符的谱表示。在量子力学中，此种谱表示在通过正经函数的简单情形里已经取得，所以我们使用希尔伯特空间。量子力学与希尔伯特空间中的算符分析之间的联系是如此紧密，以至于量子力学往往就被当作希尔伯特空间中的算符分析。在第六章，我们将看到这通常不是那么回事。
为了把握现实世界，我们最终必须离开希尔伯特空间。在混沌映射情形里，我们必须走出希尔伯特空间，因为我们既需要是正经函数的Bn（x）又需要是奇异函数的~Bn（x），于是，我们可以谈论受控的希尔伯特空间或盖尔范德空间。用更专门的术语来讲，我们得到了佩龙…弗罗贝尼乌斯算符的不可约谱表示，因为它仅适用于正经概率分布而不适用于个体轨道。这些特征是根本性的，由于它们是不稳定动力学系统的典型。我们将在第五章我们对经典动力学的推广和第六章量子力学中再次见到它们。我们不得不离开希尔伯特空间，其物理原因与上文提及的持续相互作用有关，这种相互作用需要整体的非局域描述。只有在希尔伯特空间之外，个体描述与统计描述之间的等价性才被无可挽回地打破，不可逆性才结合到自然法则之中。
III
伯努利映射不是一个可逆系统。我们前面提到，在运动方程的层次上已经存在时间之矢。我们的主要问题是描述在可逆动力学系统中出现的不可逆性，所以现在我们考察面包师映射或面包师变换，它是伯努利映射的推广。我们取一个边长为1的正方形。首先，将此正方形技成长为2的矩形，然后再把该矩形平分，建成一个新的正方形。考虑正方形的下部，我们看到，这一过程（或映射）经过一次迭代之后，下部分成了两条（见图4．1）。而且，此种变换是可逆的：逆变换首先将正方形重新变形成长为2、宽为2的矩形点后使每一点都回到其初始位置。
就伯努利映射而论，运动方程非常简单：在每一步，当O≤x