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我的祖父是位顶呱呱的好人。他在所从属的不幸的等腰三角形阶层中不规则程度最低。他在作古前得到了卫生与社会部门的认可而成为等边三角形这是以四比三的表决结果通过的。我常听他流着痛苦的泪水回忆本家
族往昔的一桩过失。他的太祖父是一位受人尊敬的工人，顶角是59^30'。 我这位不幸的先祖遭受着风湿病的折磨。一次，当一个五边形触摸他时，他悸动了一下，于是不幸斜向刺穿了这位大人。这给他带来了长期的牢狱之灾，而且又株连到所有亲属。他们的顶角都离他们争取的角度远了一度半。在他的曾祖父一代，登记的角度只有58^ ，直到第五代上才实现60^ ，从而从等腰三角形阶层提升到等边三角形阶层。而这一系列的苦难只是一次轻轻的触摸引起的。
至此，我仿佛听到了诸位受过良好教育的读者们在问：“在二维国里，你们怎么会了解度啦、分啦、秒啦的呢？我们处在三维空间里，所以能看见角，能看见相交的两条直线，或是位于一条直线上的若干小段。你们辨认不出角来吧，恐怕更分辨不出角的大小来吧！”
我的回答是：虽然我们看不见角，可我们能推断它们的存在，而且能十分精确。在需要的促进下，也在长期的训练下，即使不用尺和量角仪器，我们也能比你们用视觉更精确地辨认各种角度，此外也不应忽略另一点，就是我们还有“天助”——这就是我们的又一条自然法则：等腰三角形的顶角从半度即30' 开始，每一代可以增长半度，一直增到60^ 止。到这个角度上，他们便可摆脱底层地位，成为自由人而步入规则图形的阶层。
可见，大自然为我们等腰三角形提供了顶角从30' 增到60^ 的升级图，全国的每所小学校里也都有活人的陈列。由于偶然的退化，以及多过前者的道德和智力的停滞，再加上罪犯和流浪汉的高生育能力，因此社会上总有不少顶角为30'或1^的等腰三角形，顶角小于10^ 的更不在少数。他们没有公民权，其中很大一部分甚至连当兵都不够格。政府只得把他们提供给教育界消耗。为避免伤人，需把他们锁绑起来，放到小学校的教室里，用以教育中层百姓的子弟，使学生们得到有关他们的知识。而提供这些知识的可怜虫自己却连这点关于自身的常识都不了解。
有为数不多的学校给这些活标本东西吃，因此使他们能苟活几年，但在法制更强化的温带地区，不供食物而每个月——在不进食的情况下，罪犯的平均存活蝴为一个月——更换活标本的办法，从长远计对教育青少年有更好的效果。在条件较差的学校，由于缺乏购置活标本的经费而让标本进食以多活些时间的作法，固然能省钱省事，但是这点好处，一部分会被提供食物的花费抵销，一部分会因标本连续好多个星期被学生们触摸造成磨损所导致的教学效果下降抵消。频繁更换还有一条很重要的优越性，就是它有助于减少过剩的等腰三角形。这种减少在效果上并不十分明显，但仍能觉察得到。二维国的所有政治家一向都持这一观点。我知道许多校董会欢迎少换标本的“廉价系统”，但我认为，真正的经济是消费，对标本的选
用也不例外。
不能让有关学校的问题来转移我们的主题。关于靠触摸来辨认的方式，我觉得自己已经说了不少了。这种方法不像有人想象的那样费事、那样没有准头、触觉显然比听觉更可信赖。但正如前所述，这种方式有一定的危险性，因此中低阶层中的一部分人，以及所有的多边形和圆宁可用第三种方法进行辨认。这就是下一节的内容。
6。视觉辨认
这里又出现了视觉辨认，是不是同以前的说法不一致了呢？我在前面固然说过、在二维国里，各种图形统统表现为直线，但这并不意味着用视觉就不能辨认形体。现在我就来向三维世界的批评家们说明我们是怎样用视觉来相互辨认的。
如果读者们再费心看一下前面所说的内容，就会发现那里说的是低等阶层中的情况。在高等阶层中，以及在温带地区，人们是借助视觉实现辨认的。各个地区和各种阶层的人们之所以能靠视觉进行识别，是因为有雾的缘故。这种雾在一年中的大部分时间里遍布除热带以外的所有地区。若在三维世界，雾对你们来说是不折不相的坏事，它会遮蔽景观、压抑情绪，并且有碍健康。可雾对于我们却不亚于空气那样重要；它堪称艺术之保姆，科学之母亲。我还是别忙着唱颂歌，先讲清我的意思吧。
如果没有雾，我们看到的会只是清一色的长短直线，根本无法进一步区分在气候干燥大气澄彻的地方也的确是这种情况。而在多雾地区，物体
在一定距离外，比如三英尺远处，看起来就会比两英尺处显得暗淡些。因此，只要经常进行物体明暗程度的仔细观察，就能非常精确地辨认出一个个物体来。
一个例子会比一大堆泛泛之论讲得清楚明白。这里就通过例子解释一下。
设想有两个人向我走来，我想确知他们的身份。如果他俩一个是商人，另一个是医生；换句话说，一个是等边三角形，另一个是五边形，我将怎样辨认出他们来呢？
对于三维世界的孩子，只要学过一点儿几何知识，这个问题就是显而易见的。如果我的目光能等分开向我走来的陌生人所张的角度（A ），我就正处在距他挨近我的两个边（即CA和AB）都不偏不倚的地方，我就能看到这两条边是等长的。
现在来看商人，如图3 （1 ）。我能看见什么呢？能看到一直线DAE ，这条直线的中点（A ）离我最近，所以看起来很亮，但从A 点到两端的两段线会随着它们很快隐人雾中而变得暗淡起来，我所能看到的三角形的两个端点，即D 和E ，实际上就非常之模糊了。
另一方面，对于图3 （2 ）所示的医生，虽然我也只看见一条直线（D'A'E'），它的中点（A'）也是亮的，它的两个边（A'C'和A'B'）也是逐渐变暗的，但它们向雾中隐入得不那么快，因此我看到医生的两个端点D'和E'也不如商人所对应的那两个端点那么模糊。
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图 3
由这两个例子，读者们大概会明白，那些有知识的人凭借自己的学识，再加上长期的实际训练，是能够很准确地用视觉辨识中、低阶层的人们的。
如果你们——我的三维世界的读者们——已经掌握了这个一般概念，至少就会认识到这样做的可能性，而不会认为这一切是不可思议的了。这也就达到了我讲这段话的目的。不过，如果让我进一步解释其中的细节，那我只得知难而退了。年轻而缺乏经验的人，可能会觉得——根据前面我讲的两个简单的例子——用上述方法也能容易地辨认出我的父亲和我的儿子，那我就必须指出，在实际生活中，大多数视觉辨认要比上述情况细致复杂得多。
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图 4
例如，当我的父亲（一个三角形）走近我时，很可能会以一条边而不是一个角正对着我，这时我就得让他转一转身，或者我自己围着他兜上几步路，才能把他分辨出来，否则，此时我会怀疑我看到的是一段直线，或者说是一位妇女。再有，当我的一个孙子（六边形）陪着我时，他的一个边（AB）会直对着我，从图4 中可以清楚地看出，在我看来他只是一条整个都比较明亮的、即使在两端也不怎么变模糊的直线（AB），再一边接上一段短短的暗淡的线段（CA和BD），而后两条线段的端点C 和D 是较模糊的。
在我们这里，有教养的人在生活中有一个重要内容，就是运用他们的名牌大学里从著名教授那里学到的几何学的丰富知识——有两种几何学，静止几何学和运动几何学——用眼睛辨认出其它有地位者的角度。由于辨认者自己是在运动的：或旋转，或前进，戎后退，被辨认者可能人数众多，又都可能同时朝各个方向运动着，进行辨认实在是不容易。对此，就是三维世界里最卓越的数学家也是会相信的。但是我这里不准备再谈了。
只有极少数的最显赫最富有人家的子弟，才有时间和金钱全面学习这项高尚而重要的艺术。甚至连我这个名望不低的数学家，又是两个很有出息的完全规则的六边形的祖父，一旦置身在地位更高的一群转动的多边形中间，有时也会感到十分窘迫呢。当然，普通的商人或者贫民，一旦置身于这种环境中，就会像你们——尊敬的读者们——一旦来到我的国家时一样地困惑和迷悯。
置身于这样的一群人之中，你会看到周围都是线，而且看上去都是直的，在这些线的各个部分上，明暗强度又都不断地无规则地变化着。即使你在大学的五边形班和六边形班里学满了三年，出色地掌握了这方面的理论，也会感到还需要经过多年实践，才能在上流社会的人群中走动而不致撞上人，而这些人又把别人的触摸看成是十分无礼的举动。由于他们有较高的文化修养，因此了解你的一切动作，而你对他们却了解甚少，或几乎是一无所知。总之，要在多边形社会里应付裕如，自己就得是个多边形。这至少是我亲身痛苦经历的总结。
说来也许令人惊奇，这种视觉辨认艺术有时简直可以说是成了本能，这主要靠反复实践和避免触摸培养成的。这正如你们三维世界中的聋哑人，一旦学会了正规的哑语，就再也无法掌握凭口形识别正常人的语言这门更重要更困难的技术一样。对于我们，“看”就同这一情况一样，一旦在小时学了触摸法，“目识术”就再也学不到家了。
因而，在高阶层人士中，触摸术是不受鼓励的，甚至干脆遭到禁止。他们的孩子自幼不是进公立小学读书（那里教授触摸术），而是被送入专门的高级学习班。在我们的最高学府里，触摸动作被视为严重的过失，初犯者受停学处分，再犯者予以除名。
但是，在那些低等阶层，视觉辨认术被看作是可望而不可及的东西。一个普通的商人是不可能拿出巨款让儿子花掉三分之一的时间去从事这种抽象问题的研究的。由于穷人家允许孩子从小对人进行触摸，因而在早年，他们若与多边形阶层的那些刚受到一半教育的孩子所表现的迟钝，不成熟和行事拘谨相比，就更显得成熟、活泼而讨人喜欢。可是当多边形的孩子最后完成了大学学业，并把他们学到的理论知识应用于实践时，他们表现出来的巨大变化却几乎可以说是一种新生；他们在文学、科学和社会学等各个方面，都会很快把三角形竞争对手远远抛在后面。
在大学里，会有极少数多边形子弟不能通过毕业考试，这少数落伍者确实可怜：上层社会会把他们拒之门外，低阶层的人也瞧不起他们。他们既没有多边形学士或文科硕士那种靠系统训练培养起来的成熟才干，也没有青年商人的那种天生的熟稔灵活和多才多艺。各种脑力劳动和国家公职也一概同他们无缘。虽然大部分地区并不明令禁止他们的婚姻权利，然而，他们也很难找到合适的伴侣。经验表明，那些不幸的无才华的父母所生育的后代可能会是不规则多边形，至少也是些不幸的人。历史上的骚乱和暴动，正是从这些出身贵族阶层的落难子弟中得到领袖的。这样的大错误使一些较进步的政治家提出，真正的仁慈总是完全的斩草除根。他们主张制定法令，把所有没有通过大学毕业考试的人，或者判处终身监禁，或者用安乐死的方式把他们从肉体上消灭。目前，这种人虽为数不多，但比例却正在上升。
我已经离开话题，谈到不规则图形上面去了。这是一个极为重要的问题，需要专门用一节的篇幅讲一讲。
7。不规则图形
在前面的所有各节里，我一直设定——也许应当作为最基本的命题明确地放在开头挑明——二维国里的每个人都是规则图形。由此，我说妇女是线时，就是说她们是直线；工人或士兵必须有两条边相等；商人一定要三条边都相等；而律师等——我便属于这一阶层，但地位较低——的四个边都是相等的……总之，每个多边形的所有边都必须等长。
边的长短与年龄有关。刚刚出生的女婴长约1 英寸，而一个成年的高个子妇女身高可达1 英尺；各阶层的成年男人各边的总长为2 英尺或略长一些。
可这里并不考虑一个人的边有多长多短，重要的是边长应当相等。无须赘述便可看出，整个二维国的社会生活都依赖于这样一个基本事实，即大自然赋于我们的所有形状都是等边的。
如果一个人的边长不相等，则其角度也不相等，这样，无论用触摸法识别还是用视觉法辨认，单凭一个角的大小是无法确定一个人属于何种等级的，只有通过触摸查明他的每个角才行。但是，这样费事地摸了又摸，实在是太浪费时间了。全部视觉辨认术也会立即告吹，就是触摸作为一门技术，也不会有长久的生命力。人们的交往将变成一种冒险。人们的一切打算将落空。信任将不复存在。即使是最简单的社交安排也不会有安全感。
总而言之，社会文明将崩溃，人类将处于野蛮状态。
以上这些内容因为在我而言是显而易见的事，所以讲得可能太快了一点儿。不过，读者只要稍稍思考一下，我再举一个日常生活中例子，大家就会相信，我们的整个社会体系都确实建立在人们的规则性上，也就是等角构造上。例如，你在街上遇到了两、三个商人，只要看一眼他们的角度和亮度很快变暗的两条边，就能立刻认出他们的阶层，于是便会叫他们留步，邀请他们去你家用饭。你能非常自信地这样做，因为大家都知道一个成年三角形会占有多大的面积。可是你不妨想象一下，要是商人这个规则而体面的三角形尖顶后面又拖着一个对角线有十几英寸长的平行四边形，结果这个怪物卡在了你家门口，那该多么尴尬呀！
我怕是小看了有幸生活在三维世界里的读者们。我说的这些细节，读者们会是一清二楚的。显然，在这种怪异的情况下，只靠测量一个角已经不再能辨识别人了。所以，人们一生中需花许多时间来全面触摸他所要辨认的人的每一条边，即使是一个受过良好教育的四边形，要做到在人群中避免相撞也会是煞费周折的。可是，如果社会交往的成员不是规则形状的，那就会是彻底的混乱不堪；一旦有人稍一惊慌，就会造成重伤，若发生妇女或士兵当中，则会是生命的巨大损失。
规则的人体结构是造物主赋予我们的天然标志和烙印，而自然法则也不会重新写过。不规则形对于我们，就如同你们所说的道德败坏和犯罪，而且这两者受到的处置方式也是相仿的。的确，我们这里不乏散布没有必要把几何形状的不规则和道德沦丧联系起来的人。他们发表谬论说：不规则体自打一出生，就受到