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分数个物品的情况，而此物品又是不可分割的，这就容易使人迷惑。其实，在解答这类问题时，如果我们能换个思维方式，尝试一下逆向思维，往往能有惊奇的发现。
分月饼
中秋节到了，班级里买回了一箱月饼准备分给同学们。第1个同学取走了1块月饼和剩余月饼的1/9，第2个同学取走了2块月饼和剩余月饼的1/9，第3个同学取走了3块月饼和剩余月饼的1/9，第4个同学取走了4块月饼和剩余月饼的1/9，依次类推，把全部月饼一点不剩地分配给了全部同学。
请问班级共有多少个同学，共有多少块月饼？
分析与解答
此题需逆向思考。
最后一个同学取走的月饼数目应与全班的人数相同。他前面一个同学取走全班人数减1块月饼和剩余月饼的1/9。由此可知最后一个同学得到的是剩余月饼的8/9。即，在最后一个同学取月饼的时候，剩余月饼应是8的倍数。
假设最后一个同学取走的是8块月饼。那么，全班共有8个同学。第7个同学取走7块月饼再加上剩余9块月饼的1/9共8块月饼。第7、第8个同学一共取走16块月饼，这应该是第6个同学取走6块月饼后剩余月饼的8/9。我们可以得到第6个同学取走6块月饼后剩余的月饼数为16/（8/9）=18。第6个同学取走的月饼数为6＋18/9＝8。
第5个同学取走5块月饼后剩余月饼的8/9为8＋8＋8=24块。则第5个同学取走5块月饼后剩余的月饼数为24/（8/9）=27块。第5个同学共取走5＋27/9=8块月饼。
第4个同学取走4块月饼后剩余月饼的8/9为8＋8＋8＋8 =32块。则第4个同学取走4块月饼后剩余的月饼数为32/（8/9）=36块。第4个同学共取走4＋36/9=8块月饼。
第3个同学取走3块月饼后剩余月饼的8/9为8＋8＋8＋8＋ 8=40块。则第3个同学取走3块月饼后剩余的月饼数为40/（8/9）=45块。第3个同学共取走3＋45/9=8块月饼。同样，第2、第1个同学也分别取走8块月饼。
综上所述，每个同学都取走8块月饼。因此，共有8个同学，64块月饼。
分苹果
小咪家里来了5位同学。小咪的爸爸想用苹果来招待这6位小朋友，可是家里只有5个苹果。怎么办呢？只好把苹果切开了，可是又不能切成碎块，小咪的爸爸希望每个苹果最多切成3块。这就成了又一道题目：给6个孩子平均分配5个苹果，每个苹果都不许切成3块以上。
小咪的爸爸是怎样做的呢？
分析与解答
苹果是这样分的：把3个苹果各切成两半，把这6个半边苹果分给每人1块。另2个苹果每个切成3等份，这6个1/3苹果也分给每人1块。于是，每个孩子都得到了一个半边苹果和一个1/3苹果，6个孩子都平均分配到了苹果。
半张唱片
张三和李四都热衷于解难题，他们的最大乐趣就是彼此用难题难住对方，或难倒他们的朋友。
有一次，张三和李四经过一家唱片店。
这时，张三问李四：“你是不是还有西部乡村音乐的唱片？”
李四说：“没有了，我把我唱片的一半和半张唱片给了小赵。”
李四接着说：“然后我把我剩下的另一半，加上半张给了小吴。”
李四：“这样我就只剩下一张唱片了，如果你能告诉我原先我有几张唱片，我就把这最后一张送给你。”
张三真的被难倒了，因为他实在想不出这半张唱片有什么用处！
你能帮他解决这个难题吗？
分析与解答
此题很容易使人掉入东西的一半再加上1/2，不可能等于一个整数的陷阱里。
如果走入这个迷宫，就难见天日了！
这题的关键在于：奇数唱片的一半，再加上半张唱片，正好是个整数。
由于李四最后一次送出唱片后剩一张。他在给小吴1张之前，至少有3张。3的一半是，加上1/2等于2，所以李四最后送出了2张。现在很容易倒算回去，他原先有7张唱片。
第2章 数学趣题解析3。 数字问题
猜数字…1
一个教逻辑学的教授，有三个学生，而且三个学生都非常聪明。
一天教授给他们出了一个题，教授在每个人脑门上贴了一张纸条并告诉他们，每个人的纸条上都写了一个正整数，且某两个数的和等于第三个。（每个人可以看见另两个数，但看不见自己的。）
教授问第一个学生：你能猜出自己的数吗？回答：不能。
问第二个，不能。
第三个，不能。
再问第一个，不能。
第二个，不能。
第三个：我猜出来了，是144！
教授很满意的笑了。请问你能猜出另外两个人的数吗？请说出理由！
分析与解答
答案是：36和108
思路如下：
首先，说出此数的人应该是两数之和的人，因为另外两个加数的人所获得的信息应该是均等的，在同等条件下，若一个推不出，另一个也应该推不出。（当然，我这里只是说这种可能性比较大，因为毕竟还有个回答的先后次序，在一定程度上存在信息不平衡）
另外，只有在第三个人看到另外两个人的数是一样时，才可以立刻说出自己的数。
以上两点是根据题意可以推出的已知条件。
如果只问了一轮，第三个人就说出144，那么根据推理，可以很容易得出另外两个是48和96，怎样才能让老师问了两轮才得出答案了？这就需要进一步考虑：
A：36（36/252）B：108（108/180）C：144（144/72）
括弧内是该同学看到另外两个数后，猜测自己头上可能出现的数。现推理如下：
A，B先说不知道，理所当然，C在说不知道的情况下，可以假设如果自己是72的话，B在已知36和72条件下，会这样推理——“我的数应该是36或108，但如果是36的话，C应该可以立刻说出自己的数，而C并没说，所以应该是108！”然而，在下一轮，B还是不知道，所以，C可以判断出自己的假设是假的，自己的数只能是144。
猜数字…2
老师从1~50之间（大于1小于50）选了两个自然数，将两数之积告诉同学P（Product），两数之和告诉同学S（Sum），问两位同学能否推出这两个自然数？
S说：我知道你不知道这两个数，但我也不知道。
P说：我还是不知道。
S说：我知道这两个数啦！
P说：我也知道啦！
其他同学：我们也知道啦！
……
问：老师选出的两个自然数是什么？
分析与解答
说话依次编号为S1，P1，S2，P2。
设这两个数为x，y，和为s，积为p。
由S1，P不知道这两个数，所以s不可能是两个质数相加得来的，而且s29，那么P拿到29´；（s…29）必定可以猜出s了。所以和s为｛11，17，23，27，29｝之一，设这个集合为A。
由P1，乘积p必定含有因子2，而且含有两个质因子，而且最大的质因子不可能大于7，（假如含有因子11，就会有p至少是11´；2´；3，拆成11´；6或者22´；3不满足条件，假如含有因子13，就会有p至少是13´；2´；3，拆成13´；6或者26´；3也不满足条件），这条规则有助于简化和s的拆分。
（1）假设s=11。
11=2＋9=5＋6，有18=2´；9=3×6，只有2＋9落在集合A中，P不会说出P1。而30=5´；6=2´；15，11和17都落在集合A中，所以只有这一种情况会令P说P1，所以S拿到11可以断言S2。但是问题在于P会说出P2的话，必须要s=17时S说不出S2才行。
下面看看s=17的情况，17=2＋15=3＋14=5＋12=7＋10= 8＋9，由于p=2´；15=5´；6或p=3´；14=2´；21都会令P说出P1，所以s=17时S说不出S2。
所以s=11，p=30，这两个数是5和6的时候满足条件
（2）假设s=23，
23=2＋21=3＋20=5＋18=8＋15=9＋14，由于p=9´；14=6´；21或p=3´；14=2´；21都会令P说出P1，所以s=23时S说不出S2。
（3）假设s=27，
27=2＋25=3＋24=6＋21=7＋20=9＋18=12＋15，由于p=6´；21= 9´；14或p=12´；15=9´；20都会令P说出P1，所以s=27时S说不出S2。
（4）假设s=29，29=2＋27=4＋25=5＋24=8＋21=9＋20=14 ＋15，由于p=9´；20=12´；15或p=5´；24=15´；8都会令P说出P1，所以s=27时S说不出S2。
综上所述：这两个数只可能是5和6。
数字找规律
11，21，33，45，55，61，？
分析与解答
正确答案：61
原则是：
1．求下一个数的时候，已知的最后一个数应为10进制的。
2．从11开始，按5进制、6进制、7进制……的顺序求下一个数，也就是11的5进制为21，21的6进制为33，33的7进制为45……，55的9进制为61。
符号问题
定义一种新运算*
已知：2*4=8
3*5=11
5*3=13
9*5=25
求3*7=？
分析与解答
3*5和5*3得数差2，所以有两条思路：
8…2=6
11…3=8
13…5=8
25…9=16
8＋4=12
11＋5=16
13＋3=16
25＋5=30
然后就从第一条思路凑出来的。a*b=2*（较大数…1）＋a，所以3*7=2*（7…1）＋3=15。
第2章 数学趣题解析4。 其他趣味数学（1）
河岸的距离
两艘轮船在同一时刻驶离河的两岸，一艘从A驶往B，另一艘从B开往A，其中一艘开得比另一艘快些，因此它们在距离较近的岸500公里处相遇。到达预定地点后，每艘船要停留15分钟，以便让乘客上下船，然后它们又返航。这两艘渡轮在距另一岸100公里处重新相遇。试问河有多宽？
分析与解答
当两艘渡轮在x点相遇时，它们距A岸500公里，此时它们走过的距离总和等于河的宽度。当它们双方抵达对岸时，走过的总长度等于河宽的两倍。在返航中，它们在z点相遇，这时两船走过的距离之和等于河宽的三倍，所以每一艘渡轮现在所走的距离应该等于它们第一次相遇时所走的距离的三倍。在两船第一次相遇时，有一艘渡轮走了500公里，所以当它到达z点时，已经走了三倍的距离，即1500公里，这个距离比河的宽度多100公里。所以，河的宽度为1400公里。每艘渡轮的上、下客时间对答案毫无影响。
变量交换
不使用任何其他变量，交换a，b变量的值？
分析与解答
a = a＋b
b = a…b
a= a…b
步行时间
某公司的办公大楼在市中心，而公司总裁温斯顿的家在郊区一个小镇的附近。他每次下班以后都是乘同一次市郊火车回小镇。小镇车站离家还有一段距离，他的私人司机总是在同一时刻从家里开出轿车，去小镇车站接总裁回家。由于火车与轿车都十分准时，因此，火车与轿车每次都是在同一时刻到站。
有一次，司机比以往迟了半个小时出发。温斯顿到站后，找不到他的车子，又怕回去晚了遭老婆骂，便急匆匆沿着公路步行往家里走，途中遇到他的轿车正风驰电掣而来，立即招手示意停车，跳上车子后也顾不上骂司机，命其马上掉头往回开。回到家中，果不出所料，他老婆大发雷霆：“又到哪儿鬼混去啦！你比以往足足晚回了22分钟……”。
温斯顿步行了多长时间？
分析与解答
假如温斯顿一直在车站等候，那么由于司机比以往晚了半小时出发，因此，也将晚半小时到达车站。也就是说，温斯顿将在车站空等半小时，等他的轿车到达后坐车回家，从而他将比以往晚半小时到家。而现在温斯顿只比平常晚22分钟到家，这缩短下来的8分钟是如果总裁在火车站死等的话，司机本来要花在从现在遇到温斯顿总裁的地点到火车站再回到这个地点上的时间。这意味着，如果司机开车从现在遇到总裁的地点赶到火车站，单程所花的时间将为4分钟。因此，如果温斯顿等在火车站，再过4分钟，他的轿车也到了。也就是说，他如果等在火车站，那么他也已经等了30…4=26分钟了。但是惧内的温斯顿总裁毕竟没有等，他心急火燎地赶路，把这26分钟全都花在步行上了。
因此，温斯顿步行了26分钟。
付清欠款
有四个人借钱的数目分别是这样的：阿伊库向贝尔借了10美元；贝尔向查理借了20美元；查理向迪克借了30美元；迪克又向阿伊库借了40美元。碰巧四个人都在场，决定结个账，请问最少只需要动用多少美金就可以将所有欠款一次付清？
分析与解答
贝尔、查理、迪克各自拿出10美元给阿伊库就可解决问题了。这样的话只动用了30美元。最笨的办法就是用100美元来一一付清。
贝尔必须拿出10美元的欠额，查理和迪克也一样；而阿伊库则要收回借出的30美元。再复杂的问题只要有条理地分析就会很简单。养成经常性地归纳整理、摸索实质的好习惯。
一美元纸币
注：美国货币中的硬币有1美分、5美分、10美分、25美分、50美分和1美元这几种面值。
一家小店刚开始营业，店堂中只有三位男顾客和一位女店主。当这三位男士同时站起来付帐的时候，出现了以下的情况：
（1）这四个人每人都至少有一枚硬币，但都不是面值为1美分或1美元的硬币。
（2）这四人中没有一人能够兑开任何一枚硬币。
（3）一个叫卢的男士要付的账单款额最大，一位叫莫的男士要付的帐单款额其次，一个叫内德的男士要付的账单款额最小。
（4）每个男士无论怎样用手中所持的硬币付账，女店主都无法找清零钱。
（5）如果这三位男士相互之间等值调换一下手中的硬币，则每个人都可以付清自己的账单而无需找零。
（6）当这三位男士进行了两次等值调换以后，他们发现手中的硬币与各人自己原先所持的硬币没有一枚面值相同。
（7）随着事情的进一步发展，又出现如下的情况：
（8）在付清了账单而且有两位男士离开以后，留下的男士又买了一些糖果。这位男士本来可以用他手中剩下的硬币付款，可是女店主却无法用她现在所持的硬币找清零钱。于是，这位男士用1美元的纸币付了糖果钱，但是现在女店主不得不把她的全部硬币都找给了他。
现在，请你不要管那天女店主怎么会在找零上屡屡遇到麻烦，这三位男士中谁用1美元的纸币付了糖果钱？
第2章 数学趣题解析4。 其他趣味数学（2）
分析与解答
对题意的以下两点这样理解：
（2）中不能换开任何一个硬币，指的是如果任何一个人不能有2个5分，否则他能换1个10分硬币。
（6）中指如果A，B换过，并且A，C换过，这就是两次交换。
那么，至少有一组解：是内德用纸币。
卢开始有10´；3＋25，账单为50
莫开始有50，账单为25
内德开始有5＋25，账单为10
店主开始有10
此时满足1，2，3，4
第一次调换：卢拿10´；3换内德的5＋25
卢5＋25´；2内德10´；3
第二次调换：卢拿25´；2换莫的50
此时：
卢有50＋5账单为50付完走人
莫有25´；2账单为25付完走人
内德有10´；3账单为10付完剩20，要买5分的糖
付账后，店主有50＋25＋10´；2，无法找开10，但硬币和为95，能找开纸币1元。
生日会上的12个小孩
今天是我13岁的生日。在我的生日宴会上，包括我共有12个小孩相聚在一起。每四个小孩同属一个家庭，共来自A，B和C这三个不同的家庭，当然也包括我所在的家庭。有意思的是，这12个小孩的年龄都不相同，最大的13岁，换句话说，在1至13这十三个数字中，除了某个数字外，其余的数字都表示某个孩子的年龄。我把每个家庭的孩子的年龄加起来，得�