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无可奈何，不得不由此而进的一扇门。通常在几何学中，例如在毕达戈拉斯定理中，须要作出一些直线，却不明白为什么要这样做；往后才发现这些原来都是圈套，出其不意地收紧这圈套的口，就俘虏了学习人的信服，学习人只得拜倒而承认一些他完全不懂个中情况的东西。事实竟至于此，学习人可以从头至尾研读欧几里德的著作，然而仍不能对空间关系的规律有任何真正的理解，代之而有的只是背诵一些来自此等规律的结果。这种原属经验的，非科学的知识就如一个医生，他虽知道什么病要用什么药，却不认识两者间的关系一样。这一切都是由于人们异想天开，拒绝一个认识类型自有的求证求据的方式，而横蛮地代之以一种与这类型格格不入的方式。同时，在别的方面欧几里德用以贯彻他这主张的方法却还值得赞美，这是好多世纪以来便是如此的，以至于人们竟宣称他这种治数学的方法是一切科学论述的模范，所有其他科学莫不争起效尤；不过人们后来自己也不知其所以然，又从这里回过头来了。在我的眼光看起来，欧几里德在数学上使用的方法只能算作一种很“辉煌的”错误。凡是一种大规模的，故意有计划地造成而后来又普遍地被称许的迷误，既可以涉及生活也可以涉及科学；大致总可以在当时有权威的哲学中找到他的根据。最早是厄利亚学派发现了直观中的事物和思维中的事物两者间的区别，更常发现两者间的冲突，并且在他们的哲学警句中，诡辩中广泛地利用过这种区别。继厄利亚学派，往后有麦珈利学派，辩证学派，诡辩派，新学院派和怀疑论者；他们指出要注意的是假象，也就是感官的迷误，或者更可说是悟性的迷误。悟性把感官的材料变为直观，常使我们看见一些事物，其非真实是理性一望而知的；例如水影中显为破折的直杆等等。人们已知道感性的直观不是绝对可靠的，就作出了过早的结论，以为只有理性的，逻辑的思维才能建立真理；其实柏拉图（在《巴门尼德斯》），麦珈利学派，毕隆（Pyrrhon）和新学院溅已在一些例子（如后来塞克司都斯、恩比瑞古靳所用的那类例子）中指出在另一方面，推论和概念也导致错误，甚至造成背理的推论和诡辩，说这些东西比感性直观中的假象更容易产生，却更难于解释。那时，与经验主义对立而产生的唯理主义占着上风，欧几里德就是遵循唯理主义来处理数学的，所以他只将公理，无可奈何地，建立于直观证明上，其他一切则建立在推论上。在＇过去的＇一切世纪中，他的方法一直是有权威的；并且一天不把先验的纯粹直观从经验的直观区别开来，这种情况也必然会延续下去。虽有欧几里德的注释家普洛克罗斯似乎已经看到这种区别，譬如克卜勒在他那部《世界的谐律》中译成拉丁文的一段，就是这位注释家的原作在这方面的表现；不过普洛克罗斯不够重视这件事，他是把它孤立地提出来的，他未被人注意，自己也没有贯彻到底。所以直到两千年以后，康德的学说既命定要在欧洲各民族的知识、思想、行为上产生这样重大的变化，才会在数学领域里促成同样的变化。因为只有我们从这位伟大哲人那里懂得空间和时间的直观完全不同于经验的直观，完全无待于一切感官上的印象，决定感官而不为感官所决定，即是说空间和时间的直观是先验的，从而也是根本不容感官的迷误入侵的；只有学得了这些，然后我们才能理解欧几里德在数学上使用的逻辑方法只是多余的谨慎，有如健全的腿上再加拐杖似的；有如行人在夜间把白色的干路当作水，唯恐踏入水中，宁可在路边高一步，低一步，走过一段又一段，还自以为得计没有碰到这原不存在的水。直到现在，我们才能有确实把握说：在我们直接观察一个几何图形时，那必然是显现于我们之前的，既不来自划在纸上不很精确的图形，也不来自我们边看边设想的抽象概念。而是来自我们意识中一切先验的认识的形式。这形式，无论在什么地方，都是根据律；在这里、作为直观的形式，也即是空间，则是存在的根据律。存在根据律的自明性、妥当性，和认识根据律的自明性、妥当性，亦即是和逻辑的真确性，是同样大小，同样直接的。所以我们不用，也不可为了单独相信后者，就离开数学自有的领域而在二个和数学不相干的领域，概念的领域里求取数学的证明。如果我们坚守数学自有的园地，我们便可获得一个＇很＇大的优点，就是在数学中所知道的“有这么回事”与其“何以如此”现在成为一件事了，而不再是欧几里德把它完全割裂为两事，只许知道前者，不许知道后者的办法了。其实，亚里士多德在《后分析篇》第一篇第27节中说得非常中肯：“同时告诉我们‘有一事物’及其‘何以如此’的知识比分别讲述事物之有及其所以然的知识要准确些，优越些。”在物理学中我们要得到满足，只有事物之如此与其何以如此两种知识统一起来，才有可能。单是知道托瑞切利管中的水银柱高过二十八英寸，如果不同时知道其所以如此是由于空气的压力，那是一种不够的知识。然则在数学园里的隐秘属性，譬如＇知道＇ 圆形中两两交叉的弦的线段总是构成同样的矩形，就能满足我们吗？这里的“是如此”，欧几里德固然已在第三卷第三十五条定理中证明了，但是“何以如此”仍然没有交代。同样，毕达戈拉斯定理也告诉了我们直角三角形的一种隐秘属性。欧几里德那矫揉造作，挖空心思的证明，一到“何以如此”就避不见面了，而下列简单的，已经熟知的图形，一眼看去，就比他那个证明强得多。这图形让我们有透入这事的理解，使我们从内心坚定地理解＇上述＇那种必然性，理解＇上述＇ 那种属住对于直角的依赖性：在勾股两边不相等的时候，要解决问题当然也可以从这种直观的理解着手。根本可说任何可能的几何学真理都应该这样，单是因为每次发现这样的真理都是从这种直观的必然性出发的，而证明却是事后想出来追加上去的，就应该这样。所以人们只须分析一下在当初找出一条几何学真理时的思维过程，就能直观地认识其必然性。我希望数学的讲授根本就用分析的方法，而不采取欧几里德使用的综合方法。对于复杂的数学真理，分析方法诚然有很大的困难，然而并不是不可克服的困难。在德国已经一再有人发起改变数学讲授的方式并主张多采取这种分析的途径。在这方面表现得最坚定的是诺德豪森文科中学的数学、物理教员戈萨克先生，因为他在一八五二年四月六日学校考试的提纲后面，还附加了一个详细的说明，＇内容是＇如何试用我的原则来处理几何学。
为了改善数学的方法，首先就要求人们放弃这样一种成见，这种成见以为经过证明的真理有什么地方胜似直观认识的真理，或是以为逻辑的，以矛盾律为根据的真理胜似形而上的真理；＇其实＇后者是直接自明的，而空间的纯直观也是属于＇自明的＇真理之内的。
最真确而又怎么也不能加以说明的便是根据律的内容。因为根据律，在其各别的形态中，原意味着我们所有一切表象和“认识”的普遍形式。一切说明都是还原到根据律，都是在个别情况中指出表象与表象之间的关联，这些关联根本就是由根据律表述出来的。因此，根据律才是一切说明＇所根据＇的原则，从而它自身就不能再加以说明，也不需要一个说听。每一说明都要先假定它，只有通过它才具有意义。但是在它的各个形态之间，并无优劣之分；作为存在的根据律、或是变易的根据律、或是行为的根据律、或是认识的根据律，它都是同等的真确，同样的不可证明。在它的各个形态中，根据和后果的关系都是一个必然的关系；这个关系根本就是“必然性”这概念的最高源泉，也就是这个概念的唯一意义。如果已经有了根据，那么，除了后果的必然性之外，就再没有什么必然性了，并且也没有一种根据不导致后果的必然性。所以，从前提中已有的认识根据引出在结论中道出来的后果，和空间上的存在根据决定其空间上的后果是同样的确实可靠。如果我直观地认识了这空间上的存在根据及其后果的关系，那么，这种真确性和逻辑的真确性是同等的。而每一个几何学定理就是这种关系的表出，和十二公理中任何一条都是同样真确的。这种表出是一个形而上的真理，作为这样的真理，它和矛盾津自身是同样直接真确的。矛盾律是一个超逻辑的真理，也是一切逻辑求证的普遍基础。谁要是否认几何定理表出的空间关系在直观中所昭示的必然性，他就可以以同等权利否认那些公理，否认从前提中推论出来的结果，甚至可以否认矛盾津自身；因为所有这些都同样是不得而证明的，直接自明的，可以先验认识的一些关系。所以，空间的关系本有可以直接认识到的必然性，然而人们都要通过一条逻辑的证明从矛盾律来引伸这必然性；这就不是别的，而是好象自有土地的领主却要另外一位领主把这土地佃给他似的。可是这就是欧几里德所做的。他只是被迫无可奈何才让他那些公理立足于直接的证据之上，在此以后所有的几何学真理都要经过逻辑的证明，即是说都要以那些公理为前提而从公理和定理的符合中作出的假定，或前面已有的定理来证明，或是从定理的反面对于假定的矛盾，对于公理的矛盾，对于前面定理的矛盾，甚至是对于定理自身的矛盾来证明。不过公理本身也不比其他任何几何定理有更多的直接证据，只是由于内容贫乏一些，所以更简单一此罢了。
当人们审问一个犯人时，人们总是把他的口供记录下来，以便从口供的前后一致来判断口供的真实性。但是这不过是一个不得已的措施；如果人们能够直接研究每一句口供的真实性，那就不会这样做了，因为这个犯人还可从头至尾自圆其说地撤谎。可是＇单凭口供的前后一致，＇ 这就是欧几里德按以研究空间的方法。他虽是从＇下面＇ 这个正确的前提出发的，即是说大自然既无处不是一致的，那么在它的基本形式中，在空间中也必须是一致的；并且由于空间的各部分既在互为根据与后果的关系中，所以没有一个空间的规定能够在它原来的样儿之外又是另外一个样儿而不和其他一切的规定相矛盾。但是这是一条繁重的，难以令人满意的弯路，这条弯路以为间接的认识比同样真确的直接认识更为可取；它又割裂了“有此事物”与“何以有此事物”的认识而大不利于科学。最后它还完全遮断了初学者对于空间规律的理解，甚至于不使他习惯于真正的探求根据，探求事物的内部联系；却反而诱导他以“事物是如此”这种历史往的知识为己足。人们经常称道这种方法可以锻炼辨别力，其实不过是学生们为了记住所有那些资料要在记忆上多费劲而已，＇因为＇ 这些资料间的一致性是要加以比较的。
此外还有值得注意的是这种求证方法只用在几何学上而不用在算术上。在算术中，人们倒真是只用直观来阐明真理，而直观在这里就是单纯的计数。因为数的直观只在时间中，所以不能和几何学一样用感性的图形来表出，这就去掉了一个顾虑，＇不必顾虑＇ 直观只是经验的，从而难免为假象所惑了。原来能够把逻辑的求证方式带进几何学里来的也只是这一顾虑。因为时间只有一进向，所以计数是唯一的算术运算，。其他一切运算都要还原到这一运算。这计数并不是别的，而是先验的直观。人们在这里可以毫不犹豫地援用这直观；只是由于这直观，其他一切，每一演算，每一等式最后才得以证实。譬如人们并不去证明，而是援用时间中的纯粹直观，援用计数，这就把每一个别的命题都变成公理了。因此算术和代数的全部内容不是充满了几何学的那些证明，而只是简化计数的一种方法罢了。我们在时间上所得到的数的直观，已如前述，大抵只到“十”为止，不能再多；过此以上就必需有一个“数”的抽象概念，固定于一个词儿中的概念，起而代替直观。因此就再没有真正完满地作到这直观，而不过是完全确切地加以标明罢了。就以这种情况说，由于数的自然秩序这个重要辅助工具，还是可以用同样的小数字来代替较大的数字＇而价值不变＇，依然可以使任何一个演算都有直观的明显性。甚至于在人们高度利用抽象作用时也是这样；在抽象中思维的不仅是数，而且有不定的量或整个演算过程，这些都可在这种意义之下用符号标记出来，譬如；这样，人们就不再进行演算，只仅仅示意而已。
和在算术中一样，人们也可以在几何学中以同样的权利，用同样的妥当性仅仅只以先验的纯粹直观作为真理的根据。事实上，赋予几何学以较大自明性的也总是这按存在根据律而直观地认识到的必然性。几何学的定理在每人意识中的真确性就是建立在这种自明的根据上的，而决不是建立在矫揉造作的逻辑证明上的。逻辑证明总是于事太疏远，大多是不久就被遗忘了；不过遗忘了也并无损于＇人的＇ 确信。就是完全没有逻辑证明也不会减少几何学的自明之理，这是因为几何学的自明本无待于逻辑的证明，逻辑的证明总不过是证明着人们原已从别的认识方式完全确信了的东西。这就等于一个胆小的士兵在别人击毙的敌人身上戳上一刀，便大吹大擂是他杀了敌人。
有了上述这一切，可望人们以后再不会怀疑数学上的自明之理既已成为一切自明之理的模范和象征，在本质上并不是建立在证明上的而是建立在直接的直观上的。在这里如此，在任何地方也是如此，直观总是一切真理的源泉和最后根据。并且数学所根据的直观和任何其他的直观，亦即和经验的直观相比，有着一个很大的优点；即是说数学所依据的直观是先验的，从而是不依赖于经验的；经验是一部分一部分，依次获得的，对于先验的直观，＇无分先后远近＇则一切同时俱在，人们可以任便从根据出发或从后果出 发。这就给数学所本的先验直观带来了一种充分的、无误的正确性，因为在这直观中是从原因识取后果的，而这就是唯一有必然性的认识。例如说一个三角形中的三边相等被认为是基于角的相等。与此相反，一切经验的直观和大部分经验却只是反过来从后果认原因的，这种认识方法就不能说没有错误，因为只有在已有了原因之后，后果才说得上有必然性；而从后果认取原因就不能有这种必然性，因为同一后果可能是从不同的原因产生的。后面这种认识方法永远只是归纳法，即是从多数的后果指向一个原因而假定这原因是正确的。但是个别的情况既决不可能尽集于一处，所以这样的真理也决不是绝对可靠的。然而一切感性直观的认识和绝大部分的经验就都只有这样的真理。官能有所感受便促起悟性作出一个从后果到原因的论断，但是从原因所产生的＇后果＇上溯原因的推论是决不可靠的，所以作为感性迷误的假象就有可能了；并且如前所述，也经常出现。只有几种或所有五种官能都有指向同一原因的感受，假象的可能性才减低到最小限度，但并不是就完全没有了。因为在某些场合，例如使用伪造的钱币，人们就骗过了所有的感官。一切经验的认识，从而全部自然科学，如不计其纯粹的（即康德所谓形而上的）部分，也同在上述情况中。在这里也是从后果认原因，所以有关自然的一切学说都是建立在假设上的。假设又往往是错误的，错误的假设只有逐渐让位于比较正确的假设。只有在有意举行的实验中，认识过程是从原因到后果的，也就是走的那条可靠的路；可是这些实验本身又是按假设而进行的。所以没有一种自然科学的分支，如物理学、天文学，或生理学，能够象数学或逻辑一样，可以是一次被发现的，而是曾经 需要，现在还需要许多世纪所搜集的，经过比较的经验。只有经过多次经验的证实，才能使假设所依据的归纳法有那么近于完备的程度，以至这种完备的程度在实践上就可以代替准确性。于是，人们也不大以为这种完备程度的来源对于假设有什么不利，正如人们不大以为直线和曲线的不能通约对于几何学的应用有什么不利，不以为“对数”永远达不到完全的精确性对于算术有什么不利一样。原来如同人们＇可以＇ 以无穷的分数使圆无限的接近于方，使对数无限地接近精确一样，同样，人们也＇可以＇以多次的经验使归纳法——亦即从后果认原因的知识——虽不是无限的，却能那么接近于数学的自明性——亦即从原因到后果的知识———以致误差的可能性小到了可以被忽略的程度。不过误差的可能性尽管小，总还是存在的；