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包含具有奇异傅里叶变换的一个退定域部分。这样，奇异函数在我们的动力学描述中扮演着一个重要角色并不令人感到惊异。事实上，正是我们对这些函数的需求迫使我们离开希尔伯特空间。是哈密顿量的函数的平衡分布，已经处于希尔伯特空间之外了。
V
我们现在借助刘维尔算符（参见第III节）将统计描述与轨道描述进行比较。我们感到很意外，这是由于统计描述引入了完全不同的一些概念，甚至在我们考虑的沿一条直线运动的自由粒子最简单的情况下已经显而易见。我们在第II节看到，粒子的坐标q随时间呈线性变化，而动量p则保持不变。相反，统计描述用与q的博里叶变换相联系的波矢k和动量P来定义。我们研究声学或光学问题时经常涉及波矢，但是在这里，波矢出现在动力学问题中了。原因是，对于自由粒子，刘维尔算符L仅是一个导数算符。我们在第四章第I节注意到，本征函数是指数exp（ikx），本征值是pk/m。因为exp（ikx）＝cos kx＋isinkx，所以本征函数exp（ikx）是周期函数。与定域于单个点上的轨道形成鲜明对照的是，它扩展到整个空间。在统计表述中，就自由粒子而言，运动方程的解可以通过平面波的叠加而得到。当然，在这个简单例子中，这两种描述预期是等价的。运用傅里叶变换理论，我们可以用平面波来重建轨道（参见图5．2）。因为轨道集中在一点，我们必须延拓整个谱间隔（Δk→∞）来叠加平面波。
结果，当q＝q0时，平面波的幅度通过相长干涉而增加；而当q=q0时，它们通过相消干涉而消失。在可积系统里，波矢k不随时间而变化。通过叠加平面波，我们可以在任一时刻重建轨道。但这里考虑的重要之点是，轨道不再是一个原始概念，而是一个作为平面波的结构的导出概念。因此可以设想，共振能够威胁产生轨道的相长干涉。只要轨道还被作为一个原始的、不可约的概念，这便无法加以考虑。已知由相空间中的点表示的轨道，我们可见，轨道坍缩对应于一个点随时间分解为多个点的情形，恰如我们在第一章分析过的扩散过程。于是也像扩散过程那样，同样的初始条件会导致多个轨道。
刘维尔算符的本征值如kp／m对应于庞加莱共振中出现的频率。它们依赖于k和p，而不依赖于坐标。因而，运用波矢k是讨论庞加莱共振所起作用的一个合理出发点。运用平面波，我们不仅能描述轨道（它们对应于瞬时相互作用），而且还能够描述退定域情况。如我们所见，这将导致波矢k中的奇异函数。我们现在用波矢的语言来考察相互作用对统计描述的影响。
VI
假定哈密顿量中的势能V为二粒子相互作用之和，则它满足充分确立的下述定理：粒子j和粒子n之间的相互作用修正两个波矢kj和kn，但它们的和守恒。这里有守恒律：kj＋kn＝kj'＋kn'，其中kj'和kn'是相互作用后的波矢。
考虑由自由运动所分开的逐次事件，我们能够在统计形式内用图解方法来描述动力学演化。在每个事件处，波矢k和动量p均被修正，但它们在事件之间保持守恒。我们现在更详细地考察这些事件的特性。
在第三章第I节，我们引入了关联概念，现在我们将以更大的精度定义它。分布函数p（q，p，t）既依赖于坐标也依赖于动量。若我们把这一函数对坐标求积分，则会失去关于粒子在空间中位置（从而关于关联）的所有信息。我们得到函数ρ0内（p，t），它仅提供关于动量的信息，所以ρ0称为关联真空。另一方面，对除了粒子i和j的坐标qi和qj以外的所有坐标求积分，我们保留关于粒子i和j之间可能的关联的信息，这样的函数内称为二粒子关联。同理，我们可以定义三粒子关联等等。在统计描述中，用波矢取代通过其傅里叶变换依赖于分布函数的坐标很重要，因为波矢出现于刘维尔算符的谱分解之中。
现在，我们将考虑波矢守恒律。其中，每一个事件可以用有两条入线kj、kn和两条出线kj'、kn'的点表示，且kj＋ kn＝kj'＋kn'。
另外，在每一点处，相互作用粒子的动量p都有所改变，导数算符出现。图5．3所示为这种最简单的事件。
我们把图5．3所示的图叫做传播事件或传播图。它对应于粒子j和n之间二粒子关联内的修正。但我们也可以从其中kj＝kn＝0的关联真空ρ0出发，产生二粒子关联ρkj；kn；且用kj=kn＝0保持波矢之和守恒（参见图5．4）。于是，我们有所谓关联产生图或产生片断。我们也有如图5。5所示的消灭片断，它把二粒子关联变换成关联真空。
我们现在开始把动力学视为关联的历史。例如，图5．6表示从关联真空开始的五粒子关联的出现，与相互作用相关联的事件产生关联。
现在，我们能够把庞加莱共振效应引入到动力学的统计描述之中。庞加莱共振与动力学过程耦合，恰似共鸣在音乐里与谐波耦合。在我们的描述中，庞加莱共振与产生片断和消灭片断耦合（参见图5．7），产生起始于给定关联态（关联真空仅仅是一个例子）且最终返回相同关联态的新动力学过程。在图5．7里，这些动力学过程描绘为气泡。关联态受到保护，而动量分布改变（记住每一个涡旋引入一个导数算符 ）。
这些气泡对应于必须作为一个整体加以考虑的事件，它们引入了非牛顿因素，因为，在轨道理论中不存在类似的此种过程。这些新过程对动力学有显著的影响，因为它们打破了时间对称性。实际上，这些过程导致了总是在不可逆过程的唯象理论（包括玻尔兹曼动理学方程）中猜测的那类扩散。为了表示与唯象描述并列的概念，我们把作用于分布函数上的这些新因素称为碰撞算符。*
*我们在第一章第III节看到，频率之间的庞加莱共振导致小分母发散。这里动量为P的粒子的频率为kp/m，k是波矢（参见第IV节）。对于LPS，k是连续变量，我们能够避免发散并用δ函数表示共振。这涉及与解析延拓相联系的一个数学分支（见本章注释中的文献）。对于二体过程，δ函数的辐角是k/m（p1…p2），由此得到每当频率kp1/m 和kp2/m相等时的贡献，否则为零。因此，波矢k=0在δ函数的辐角为零中，起着特别重要的作用，记住，当x＝0时，δ（x）＝∞，当x≠0时，δ（x）=0。零波矢k对应于无穷波长，从而对应于空间中的退定域过程。所以，庞加莱共振不能被包括在轨道描述之中。
我们的方案包含通常的动理学理论，但只把它作为一个特例。如麦克斯韦所引入的，这一理论传统上主要围绕速度分布的演化，其中若在初始时刻施加扰动，仅仅几次碰撞就足以重建平衡。我们的方案与之相反，考虑与越来越多粒子相关联的越来越高关联的渐次建立。这一过程需要长的时间尺度，与多年来得到的数值模拟一致。结果，不可逆性导致显著改变宏观物理学的长记忆效应。
许多超出传统动理学理论的新成果已经获得。然而，介绍这些成果超出了本书的范围。它们将在另一本著作中得到详细介绍。
我们正开始理解不可逆性的真正含义，说这一句话就够了。我们来考虑衰老过程的简单类比。在我们的时间尺度上，组成我们身体的原子是不朽的。变化的是原子与分子之间的关系。在这个意义上，衰老是群体的特性，而不是个体的特性。这对无生命世界同样成立。
VII
我们现在回到我们的原目标，即用分布函数ρ在统计层次上求解动力学问题。对于确定性混沌情形，这个解就是演化算符的谱表示，它在经典动力学中就是刘维尔算符。我们先考虑与导致奇异函数的持续相互作用相联系的退定域分布函数（参见第III、第IV节）。结果，我们必须离开受限于定域正经函数的希尔伯特空间。然后，如第VI节所见，我们引入导致与扩散相关联的新动力学过程的庞加莱共振。
一旦我们把这两个特点考虑进去，将会得到不可约的复杂的谱表示。进而言之，复杂意味着时间对称性被打破；不可约意味着我们不能回到轨道描述。动力学定律现在有了新含义。通过结合不可逆性，它们不表达确定性，而表达慨然性。只有当我们放松我们的条件，考虑与有限数目粒子相联系的定域分布函数，我们才能恢复牛顿轨道描述，但扩散过程通常占主导地位。
因此，存在着许多情况，其中我们预期偏离牛顿物理学，并且我们的预言已被广泛的计算机模拟所证实。在第IV节，我们引入了热力学极限，即当粒子数N→∞，体积V→∞时，浓度N/V保持不变。在热力学极限下，相互作用不断继续，从而只能应用统计描述。大量的数值模拟表明，即使我们从涉及粒子数渐增的轨道开始，则扩散过程接替，轨道“坍缩”，因为随着时间的推移，它将变换成一个退定域奇异分布函数。
我们的新动理学理论在描述所有时间尺度的耗散过程方面，如实验室或生态圈里所观测到的，具有重大的意义。但这只是它众多新特征中的一个。由于庞加莱共振，本节描述的动力学过程产生了长程关联，即使粒子之间的力是短程的，唯一的例外是平衡态，其关联范围由粒子间的力程所确定。这解释了第二章所述的事实，非平衡产生新的相干性，这一点已被化学振荡和流体力学中的流体流动所证实。我们现在认识到，平衡物理学给了我们一个错误的物质图象。我们再次看到，物质在平衡态下是“盲目的”，而在非平衡态下才开始“看见”。
总之，我们现在能够超越牛顿力学。经典力学中所用的轨道描述的有效性受到严格地限制，热力学和轨道描述不相容，因为它需要在平衡和离开平衡时的统计方法。对应于我们周围现象的绝大部分动力学系统都是LPS，这一事实正是热力学普遍有效的原因。瞬时动力学相互作用，如散射，并不代表我们在自然界（其中相互作用是持续相互作用）所遇到的情况。作为庞加莱共振的结果产生于我们统计描述中的碰撞过程至关重要，它们使时间对称性破缺，并使演化模式与热力学描述相一致。
与热力学相联系的自然之微观描述，与科学家们传统上从牛顿原理得到的舒适的、时间对称的描述没有什么关系。我们所描述的自然，是一个涨落的、嘈杂的、混沌的世界，一个更近似于希腊原子论者所设想的世界。在第一章，我们描述了伊壁鸠鲁的二难推理，他所设想的倾向不再属于物理学之外的哲学梦了。它正是动力学不稳定性的表达。
当然，动力学不稳定性只是提供产生自然演化模式的必要条件。一旦我们完成了我们的统计描述，就还能表述观察复杂性——在宏观层次上的耗散结构——突现所需的附加因素。我们现在开始认识组织的动力学之源，认识对自组织和生命出现皆至关重要的复杂性的动力学根源。
《确定性的终结》
伊利亚·普利高津著 湛敏译
第六章 量子理论的统一表述
I
经典牛顿动力学与量子理论之间存在着根本性差异，但在这两种情形中，却都存在用轨道或波函数的个体描述（参见第一章第IV节）和用概率分布的统计描述。我们看到，庞加莱共振既出现于经典理论也出现于量子理论之中。因此，我们期望我们在经典力学中获得的结果也将适用于量子理论。实际上，在这两种情况下，我们都实现了适用于希尔伯特空间之外的LPS扫新的统计表述，这一描述包含时间对称性破缺，且对于用量子波函数的个体描述是不可约的。
尽管量子理论取得了惊人的成功，但关于其概念基础的讨论不但未减弱，而且仍像70年前一样热烈。
例如，彭罗斯在他的新著《心智之影》里区分了量子性态中的“Z谜”（对量子疑难而言）和“X谜”（对量子佯谬而言）。而且，非定域性的作用似乎颇令人生疑。已知定域性是与牛顿逐点轨道描述相联系的一种属性，所以包含物质的波方面的量子理论产生一种非定域性形式就不令人惊奇了。
似乎需要量子理论的二元表述的波函数的“坍缩”，具有更深刻的意义。一方面，我们有对于波函数的基本薛定谔方程，它和牛顿方程一样是时间可逆的和确定性的；另一方面，我们有与不可逆性和波函数的坍缩相联系的测量过程。这种二元结构正是冯·诺伊曼在他的名著《量子力学数学基础》中论证的基础。这种情况确实奇异，因为，除了时间可逆的、确定性的基本薛定谔方程之外，还存在一个与波函数的坍缩（或归约）相联系的第二动力学定律。但是迄今为止，既没有人能够描述这两个量子理论定律之间的联系，又没有人成功地给出波函数归约的实在论解释。这就是量子佯谬。
导源于量子理论二元结构的量子佯谬，与另一个难题紧密联系在一起。我们的结论是，量子理论是不完备的。量子理论像经典轨道理论一样是时间对称的，从而不能描述诸如趋近热力学平衡的不可逆过程。这所以特别奇怪，是因为量子理论肇始于1900年普朗克（Max Planck）成功地描述了黑体辐射与物质的平衡。甚至今天，尽管有爱因斯坦和狄拉克（Paul A．M．Dirac）取得的巨大进展，我们却仍然没有精确的量子理论来描述辐射与物质相互作用时对平衡的趋近。（我们将看到，这与量子理论描述可积系统相关。我们将在第IV节回应这一挑战。）我们既需要平衡物理学也需要非平衡物理学来描述我们周围的世界。平衡情形的一个例子是源于接近大爆炸时刻的著名的3K剩余黑体辐射。宏观物理学的大部分都涉及平衡系统，无论它们是固态、液态还是气态，所以，在量子理论与热力学之间存在着像经典理论与热力学之间一样深的鸿沟。令人惊奇的是，第五章中扩展经典力学所用的同一种方法也使我们用来统一量子理论和热力学。事实上，我们的方案消除了量子力学的二元结构，从而消除了量子佯谬。我们获得了量子理论的实在论诠释，因为从波函数到系综的转变现在可以被认为是庞加莱共振的结果，既不需要“观察者”的神秘介入，也不需要引入其他不可控制的假设。与第一章提到的其他扩展量子理论的建议相比，我们自己的方案能做出可检验的明确预言。更有甚者，这些预言已为所完成的每一项数值模拟所证实。
尽管我们的方案构成一种向实在论的回归，但它肯定不意味着回到决定论。相反，我们甚至离经典物理学的决定论观点更远。我们赞同波普尔的观点：“我自己的观点是，非决定论与实在论是相容的，承认这一事实促使我们采用整个量子理论一致的客观的认识论，一种概率的客观论诠释。”因此，我们将力图把波普尔称为他的形而上学之梦的东西带人物理学范畴。波普尔写道：“世界可能就是非决定性的，即使不存在对它进行实验和干预它的观测主体。”所以，我们要表明，具有持续相互作用的不稳定动力学系统的量子理论，像经典系统中一样，产生一种既是统计的又是实在论的描述。在这种新表述中，基本量不再是对应于概率幅的波函数，而是概率本身。像经典物理学中一样，概率作为一个基本概念从量子力学中产生出来。在这一意义上，我们处在已延续几百年的“概率革命”胜利的前夕。概率不再是我们的无知所造成的一种心态，而是自然法则的结果。
II
对原子与光之间相互作用产生明确的吸收频率和发射频率的观测，是量子力学表述的出发点。原子被玻尔用离散能级所描述。根据实验数据（里兹…里德伯定则），谱线的频率是两个能级之差。一旦已知这些能级，我们就能预言谱线的频率。于是，光谱学问题可以简化为能级计算问题。但我们如何使对量子理论历史有深远影响的明确能级的存在与对经典理论如此重要的哈密顿量概念相一致呢？经典哈密顿量用坐标q和动量P表达动力学系统的能量，所以取一系列连续值，它不能产生离散能级。正是由于这一原因，在量子理论中，哈密顿量H被哈密顿算符Hop所取代。
我们已经反复使用过算符表述（佩龙…弗罗贝尼乌斯算符在第四章引入，刘维尔算符在第五章引入），但正是在量子理论中，算符分析被首次引入到物理学之中。在第四、第五章所研究的情形里，我们需要算符未获得统计描述；在这里，甚至对应于波函数的个体描述层次也需要算符表述。
量子力学中的基本问题是，确定哈密顿算符H（在不混淆时我们将省略下标叫的本征函数Uα和本征值Eα。与能级的观测值相同的本征值风构成H的谱。当相继的�