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鞒觥笆恰钡难≡褚彩怯欣模剑�4？3？1）也适用于这种情况。例如，在二十一点中存在着赌倍的情况，在赌倍时，由于只能补一张牌，在很多情况下赌倍的收益率要小于补牌的收益率，但由于赌倍的收益还要乘以一个系数2，因此即使在收益率变小时赌倍也可能是有利的。
对于1赔1的赌戏，决策值可用赢率表示为valStr
＝（2？pYes－1）？Ttlyes－（2？pNo－1） （4？3？3） 决策值是收益的差，而单位赌注的收益在数值上等于收益率，如果在截然相反的两种决策“是”与“非”之间选择时赌注并没有改变，就可以用收益率的差来代替收益的差，这时， valStr
＝E（ξyes）－E（ξno） （4？3？4）
对于1赔1的赌戏，式（4？3？4）还可以进一步简化为valStr
＝E（ξyes）－E（ξno）＝2？pYes－1－（2？pNo－1）＝2？（pYes－pNo）
（4？3？5）
通过前面的分析，不难得出这样的结论：收益率在赌博中无时不在、无处不在，研究赌戏离不开收益率分析。
收益率分析的关键在于赔率值的概率的计算。在二十一点、百家乐等赌戏中虽然赔率关系简单，但由于输赢是通过比较大小来确定的，赔率值的概率计算相当复杂；轮盘、骰宝等赌戏的赔率关系虽然复杂，但由于输赢是由中与不中来确定，赔率值的概率只须简单的计算就能知道。下面研究如何计算前一类赌戏的收益率。
一般地，赔率值一般和牌点或牌组合出现的概率有关，赔率值的权是相应的点数或牌组合与对方所有更小（有时含相同）的点数或牌组合同时发生的概率之和，而赌博中的输赢是通过比较大小来确定的，通常是比较点数的大小或由牌组合所出现的难易程度决定的大小。 一般赌场的赌桌上都有赌规的简要说明，除写明了前面已经研究过的赔率值之外，有的赌戏还写明了其它一些规定。如二十一点中，庄家“16”点以下必须补牌，“17”点以上不能补牌；Oasis
Poker中，AK是否算对子等，这些限制虽然简短，三言两语，却与庄家的点数或牌组合的概率密切相关，根据这些规定就能计算出庄家的点数或牌组合的概率分布。因此，虽然在采取策略之前我们无法也不可能知道庄家的点数究竟是几点，但却可以知道庄家所有可能点数的概率分布，并记为pDlr1、pDlr2……pDlrn…1和pDlrn。其中我们默认下标数大的，其所代表的点数也大，并假定当点数一样大时谁也不输谁也不赢。
赌客的选择要似乎要宽松、自由得多，但不管是以什么作为选择决策的标准，赌客实际上都是在选择自己的点数或牌组合的概率分布，这就是赌博中的“是”“非”选择。以收益率作依据的选择是唯一的， 作出“非”的选择时，存在着一个赌客点数的概率分布，记为pNo1、pNo2、pNo3……pNon，按照公式（4？1？1），这时的收益率E（ξno）
＝0。5？Odds1？pNo1？pDlr 1＋Odds2？pNo2？（pDlr1
＋0。5？pDlr2）＋…＋Oddsn…1？pNon…1？（pDlr1＋pDlr2＋…＋0。5？pDlrn…1）＋Oddsn？pNon？（pDlr1＋pDlr2＋…＋pDlrn…1＋0。5？pDlrn）
－＇0。5？pDlr1？pNo 1＋pDlr2？（pNo1
＋0。5？pNo2）＋…＋pDlrn…1？（pNo1＋pNo2＋…＋0。5？pNon…1）＋pDlrn？（pNo1＋pNo2＋…＋pDlrn…1＋0。5？pNon）＇
（4？3？6） 由于平点时不输不赢，在计算收益率时，平点的项本可不予考虑，但也可把平点看成是其中的一半输，一半赢，这就是式中系数0。5的由来。
当所有的赔率值都为1赔1时，式（4？3？6）中赔率值为＋1的权就等于选择为“非”时的赢率pNo＝0。5？pNo1？pDlr1＋pNo2？（pDlr1＋0。5？pDlr2）
＋…＋pNon…1？（pDlr1＋pDlr2＋…＋0。5？pDlrn…1）
＋pNon？（pDlr1＋pDlr2＋…＋pDlrn…1＋0。5？pDlrn） （4？3？7）
这时，可按照公式（4？2？1）计算收益率E（ξno）＝2？pNo－1
作出“是”的选择时，也存在一个所有点数的概率分布，记为pYes1、pYes2、pYes3……pYesn，这时的收益率E（ξyes）＝0。5？Odds1？pYes1？pDlr
1＋Odds2？pYes2？（pDlr1
＋0。5？pDlr2）＋…＋Oddsn…1？pYesn…1？（pDlr1＋pDlr2＋…＋0。5？pDlrn…1）
＋Oddsn？pYesn？（pDlr1＋pDlr2＋…＋pDlrn…1＋0。5？pDlrn）
－＇0。5？pDlr1？pYes 1＋pDlr2？（pYes1 ＋0。5？pYes2）
＋…＋pDlrn…1？（pYes1＋pYes2＋…＋0。5？pYesn…1）
＋pDlrn？（pYes1＋pYes2＋…＋pYesn…1＋0。5？pYesn）＇ （4？3？8）
对于1赔1的赌戏，式（4？3？8）中赔率值＋1的权就是选择为“是”时的赢率pYes＝0。5？pYes1？pDlr1＋pYes2？（pDlr1＋0。5？pDlr2）
＋…＋pYesn…1？（pDlr1＋pDlr2＋…＋0。5？pDlrn…1）
＋pYesn？（pDlr1＋pDlr2＋…＋pDlrn…1＋0。5？pDlrn） （4？3？9）
这时，可按照公式（4？2？1）计算收益率E（ξyes）＝2？pYes－1
上面的公式又加又减的，这赌博起来还要做算术岂不烦人。好在我们要用的是应用上述公式进行研究后得到的结果，有条件的，可以自己用电脑按照上面的思路进行研究，嫌麻烦的，直接应用现成的成果，没有比这更简单和容易的了。
所有的同类决策值组成策略，再进一步形成整个赌戏的完整策略，本书中所有的策略都是通过这样的推算得到的。
二 执行的策略
赌博“赌”的是随机事件，在每一次事件之前，除了具有预测特异功能的，没有人能预先知道其结果。在扔硬币的试验中，如果要猜到底会出现哪一面，普通人也有一半的机会猜对，不能因为有人猜对了就说他能事先知道结果，因此没有人会以为自己能猜出扔硬币是出正面或反面，但在赌场里却总是有人要做类似的猜测。以轮盘为例，我们可以把轮盘看作是一个有37个面的骰子，现在要猜到底会出现哪一面，任何人都有1/37的机会猜对，平均猜37次就能对一次，同样不能因为猜对了就说他事先能知道轮盘的小球会掉到那个数字；但轮盘的运转和猜中后赢钱的感觉容易使人产生错觉，把错觉当直觉，把偶然当必然，这是赌博中赌客普遍易犯的错误。中六合彩是一个更偶然的例子，不能因为有人中了500万就说他有中大奖的某种能力，每一位500万的中奖者都有一个撩人的故事，你中了的话也有一个同样类似的故事，所谓这些方面的经验之谈对以后的中奖其实没有任何价值，六合彩不断地摇下去，头奖就会不断地产生，只要有决心、有毅力、坚持不懈，头彩一定会中；但对多数人来说，就算是中了头彩，也不能弥补买彩票的投入，相当于是自己给自己发了个头彩。
玩二十一点、拉号子等有中间过程的赌戏，在有的情况下，赌客处于明显的劣势，赢率本来就不大，这时正确的态度就是按照正确的策略坦然面对。实际情形往往不是这样，很多赌客会想千方设百计，希望能扭转局面，这种不切实际没有科学依据的努力的结果往往是输得更多。普通赌客易犯的“猜测”错误多数时候就是在这样的情形下发生的。
赌博，当然希望次次都赢，因此，在下意识里，在很多人心目中成功的赌博策略应该是百战百胜的，很多人为此作出了不懈努力，并把赢看成是自己努力的结果，把输看作是继续努力的动力，这也许就是赌博会上瘾的原因之一吧。现在我们已经知道赌博不过是一种输输赢赢乱数排列的随机试验，由随机试验的特点知道，百战百胜的赌博策略是不存在的。
赌规一定，由于应用的策略不同，赢率也不同，我们把给定赌规下使收益率最大化的策略称为最佳策略。赌规一定，最佳策略即定，同时收益率也定。在某段时间内，应用最佳策略的结果可能让人满意也可能让人不满意，我们不能因为后者而对最佳策略的最佳性产生怀疑。为什么在某段时间内最佳策略看起来好像不是最佳的，这涉及到最佳策略的作用方式。 夏皮诺是美国纽约的一位心理医生。夏皮诺实验指的是他曾主持的两个著名的实验。这两个实验的每一个都有两项选择，被实验者可从中选择一个答案。
实验一是“得到选择”实验：第一，有75％的机会得到 1000 美元，但有 25％的机会什么都得不到；第二，确定得到 700
美元。虽然一再向参加实验者解释，从概率上来说，第一选择能得到 750 美元，可结果还是有
80％的人选择了第二选择。从心理指向上看，大多数人宁愿少些，也要确定的利润。
实验二是“付出选择”实验：第一，75％的机会付出 1000 美元，但有 25％的机会什么都不付；第二，确定付出 700
美元。结果是 75％的选择了第一选择。他们为了搏 25％什么都不付的机会，从数字上讲多失去了 50
美元。 把以上试验中具体数字的金钱看成是收益，相应的百分比就是对应的权，由此不难计算出相应的收益加权平均值即平均收益，试验一是平均值为750美元的风险性收益和700美金的确定收益之间的选择，试验二是平均值为750美元的风险性支出和700美金的确定支出之间的选择。通过比较二者的大小，不难作出数学上正确的选择。
对以上两个试验中人们不同选择的解释不仅在数学也在心理学。在仅仅一次或几次这样的选择中，风险是存在的，在确定性收益和不确定的风险性收益相差不大时，即使后者更大一些，人们也宁愿选择确定性收益，规避风险；在确定性损失和不确定的风险性损失相差不大时，即使前者更小一些，人们也宁愿选择风险性损失，呈现出一种风险爱好，在只是偶尔面对的情况下，考虑到心理因素，人们是回避风险还是承担风险，二者的差别并不大，随便选择哪一个并无多大的对错。生活中有人需要实在的利益，有人为了什么也不付出而甘愿冒损失更多的风险，有人作出生活性选择，有人作出数学性选择其实都不足为奇。
如果不是一次而是要经常性，甚至是成千上万次地面对这样的选择，由贝努利概型试验的结论已经知道，这时已经毫无风险可言，正确的选择就只有一个，当然应该选择平均收益更大的。
在明白了其中的道理之后，以后遇到类似夏皮诺实验这样的选择时，照葫芦画瓢，相信谁都能给出正确的答案。不过生活中的问题多数都没有这么简单和直观，要复杂得多。如炒股、炒汇、期货和赌博等，都是类似的问题，在前三类中，由于各种已知未知因素的影响，很难甚至无法准确计算出所涉及到的概率，选择的难度相当大，说起来赌博算是它们中最简单的了，几乎所有赌戏中的概率都可以准确计算出来，不存在不确定的因素。表面看来，赌博是生活中个人的一种爱好，但赌客要作出的正是这种要成千上万次面对的选择，赌博是数学，只有从数学的立场出发，周详考虑全面分析才能作出正确的选择。在本书中是以决策值的形式来直观地表达这种正确的选择。
策略是一种主观意志，决策值是对赌博规律的客观反映，应该让自己的主观意志尊重客观规律。根据自己的心理喜好或片面分析所作出的判断或决策，由于心中无底将显得犹豫和摇摆不决；而正确的策略由于和决策值的指示相一致，将取得最大收益，因此执行起来一切都按部就班，明白了这个道理，就可以和赌博中的各种猜测说“拜拜”，彻底消除赌博时的迟疑。
其实，赌规也规定了赌场的策略。正因为由赌规确定的收益率已经规定了赌客“久赌必输”，所以，赌场工作人员从来不在意赌场里的输输赢赢，更不会因为赌客短暂赢钱而改变规则，从来是以不变应万变，不折不扣地按规则办事，这是赌场的最高策略。
赌场里的各种赌戏作为一种随机现象，虽然科学无法对其某一次的结果作出预测，但科学在这里还是有所作为的，它能准确告诉我们出现各种结果的可能性有多大，而且这种可能性在长期的实践中一定会体现出来，相应地，据此得到的策略也有相同的性质：短时间内其作用的效果完全是随机的，但长期作用的效果却是确定的，对待它的正确态度也应该是坚定不移、不折不扣地执行。
需要特别指出，采用最佳策略并不能保证我们能够赢赌场。根据前面有关收益率的结论，赌博胜负的关键只取决于这种策略下的收益率。如果收益率为正数，长期赌博的结果能赢，如果收益率为负数，长期赌博的结果会输。
赌博没有几招制胜的绝招，赌场没有，赌客也没有，只有“久赌必输”和“久赌必赢”的大势。本书中的研究结果，仅仅是以概率观点考察具体规则下赌戏的最佳策略和收益率，不要指望它能为你带来影视剧里赌神般的效果，按照大数定律，本书所提供的策略，其效果只有在长期的实践中才能体现出来。
有利于庄家的规则和大数定律，构成了赌场这个攻不破的堡垒的坚强基石。赌规设计的原则就是要让赌客的收益率为负数，因此要赢赌场谈何容易，多少人为此绞尽了脑汁，但除了扔进去更多的钱之外一无所获。计算机的出现，特别是个人电脑的普及，为找出赌规上的漏洞打开了广阔的前景，人们在很多赌戏中都找到了破绽，有的甚至能让赌客反败为胜，“久赌必赢”，出现了“战胜赌场”的局面，一大批以赌为生的职业赌家活跃在世界各地的赌场里，赌场不让进已经司空见惯，习以为常，只要你认真研究有关的知识，这样的事发生在你的身上也没甚么希奇的。
以概率作为“理性之光”才能照亮赌场暗室的每一个角落。在以后的章节里，我们将以科学的收益率分析为基础，以决策值的正负为依据，完全按照本章所介绍的理论对赌场里的几种常见赌戏作详尽的分析。在强大的科学面前赌场是透明的，将不再神秘。
第三篇 赌戏大揭秘
大多数赌场游戏，都可作数学分析，所有庄家对闲家的游戏，都可以使用概率的方法进行分析，这些游戏，策略上的对与错，答案都只有一个，没有模糊概念。
在上一篇我们详细介绍了揭示赌博真相的基本理论，应用这些知识对具体赌戏进行分析就能发现赌戏中的秘密。也许读者已经发现，赌博的基本原理其实并不复杂，针对具体的赌戏，赌戏分析的任务实际就是收益率的计算，而计算收益率必须知道赔率值所对应的权，无非是各种点数或牌组合概率分布的计算。正是这个概率分布的计算在多数时候相当的复杂，需要很高的计算技巧，因此，赌戏分析的关键在于各种概率分布的计算，概率分布一经得出，其余问题就迎刃而解。例如，在二十一点中，庄家按规则补牌后牌点的概率分布，赌客按不同的策略补牌后牌点的概率分布；拉号子中庄家牌组合的概率分布与赌客手中的牌和庄家的面牌相吻合的张数之间的关系等等，它们的计算都涉及到复杂的计算技巧，可能需要概率论、组合数学和程序设计等多门学科的知识。除此之外，要把一种赌戏完全分析清楚，各种细节都考虑周到，你还得投入大量的时间，这就是一般很难弄清楚赌戏的正确策略的主要原因。 赌规设计和赌戏分析有很多相似的东西，它们都是以收益率分析为基础，不同的是赌规设计是从赌场的利益出发，赌戏分析则是从赌客的利益出发，是要找出赌规设计上的漏洞，多数时候二者的结论是一致的。只是因为多数经典赌戏在很久以前就发明出来，那时的计算手段还很落后，免不了在赌戏设计上存在着漏洞，而在计算技术如此发达，个人电脑如此普及的今天，找出其设计上的漏洞就不足为奇了，这是赌客之所以能赢赌场的物质原因。如果现在再出现什么新赌戏，同样是由于计算手段的发达，新赌规将更严密，要找出漏洞就很难了。 在本篇中非常详细地列出了赌戏分析的过程，这是由于：
一。赌博就是碰运气之说在很多人的心里是一个根深蒂固的观念，为了从根本上纠正这个观念，必须让收益率是决定赌博胜负的关键、赌博其实是纯粹的数学与运气无关、科学的赌博策略并不象看起来和用起来那样简单而是一系列复杂运算的外在体现等科学理念深入人心，这必然要涉及到赌戏分析的一些中间过程和中间结果；这些中间过程和中间结果在赌博实践中根本不会用到，甚至在相关的程序设计中