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《九章算术》中的均输问题，应是在此之后写成的。现在看来，这一论断需要进行修改。这部比《九章算术》还早的竹简《算数书》的出土，是中国数学史上的一项重大发现，具有十分重要的意义。
第三节《周髀算经》《周髀算经》是著名的《算经十书》之一，主要是一部解释盖天说的天文学著作，大约成书于公元前一世纪，而其中很多内容可能要早得多。在数学方面，《周髀》记述了矩的用途，勾股定理及其在测量上的应用，其中包含了相似直角三角形对应边成比例的定理。《周髀》开篇就以商高回答周公问题的形式提出“故折矩以为勾广三，股修四，径隅五”，即勾3 股4 弦5，这是勾股定理的一个特例。接着，又在陈子回答荣方的问题中提出“以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并而开方除之，得邪至日（太阳到观测者的距离）”，即a2＋b2=c2，这是勾股定理的普遍形式。据研究，陈子可能是公元前七到六世纪的人。在西方，这个定理称为“毕达哥拉斯定理”，把勾股定理的发现归功于公元前六世纪的古希腊数学家毕达哥拉斯。《周髀算经》中测量太阳高远的陈子测日法，是勾股测量术的发展，又是重差术的先驱，比起西方“测量之祖”泰勒斯测量金字塔的成就是毫不逊色的。《周髀》中还有开平方和等差级数等，以及相当复杂的分数运算，用以解决古“四分历”的计算问题。唐代国子监添设算学馆，主要学习十部算经，《周髀》即是其中之一。对于研究古代天文学史和数学史而言，《周髀》是传留至今的最早的宝贵文献。
第四节《九章算术》《九章算术》的成书中国古代数学名著《九章算术》，是我国最早的传世数学专著。《九章算术》与《周髀算经》一样，不是一人一时写成的。它经历了多次的整理、删补和增订，是几代数学家共同劳动的结晶。大约成书于东汉初年（公元一世纪）。《九章算术》采用问题集形式，列举了246 个数学问题及其答案，并在若干具体问题之后，叙述这类问题的解题方法。全书分为下列九章：方田、粟米、衰（cuī）分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股。方田章是关于土地面积的计算，包括有正方形、矩形、三角形、梯形、圆、环等面积公式，以及弓形面积和球冠表面积的近似公式。后两个公式比较简单，但误差很大。刘徽在《九章算术注》中曾提出用类似割圆术的方法推求弓形面积，但未能给出更好的结果。在这一章中还有分数的四则运算法则和约分、通分、求最大公约数方法。在《九章》中，把最大公约数称为“等数”，求两个数的最大公约数要“以少减多，更相减损”，这种方法与欧几里得的辗转相除法是相同的，后来在解决一次同余组等问题上获得了更重要的应用。《九章算术》在世界数学史上的贡献完整的分数运算法则，在印度迟至七世纪才出现，而欧洲则更晚。粟米章主要讲各种粮食交易折算的比例问题。所用方法称为“今有术”，即在成比例的四个数中，从三个已知数求第四个数的算法。在欧洲，这种算法称为“三率法”。关于比与比例的思想，古希腊就已经有了，但把比例和三率法联系起来却是迟至十五世纪的事情。衰分章是比例分配问题，即按等级分配物资或按一定标准摊派税收。在这一章中还有等差数列和等比数列问题，但都用比例方法来解决。少广章讲的是已知正方形面积或正方体体积反求边长，即开平方和开立方的方法。其具体运算过程是世界上最早的关于开平方和开立方法则的记载。在运算中，要把算筹摆放几层，相当于用分离系数法列出与求解二次和三次方程，从而发展了筹算的位值制，并开辟了求解数字高次方程的途径。少广章中还有从已知球体积求直径的问题，给出一个误差很大的球体积公式。刘徽和祖氏父子在此基础上深入研究，终于获得了正确的结果。商功章主要是各种立体体积的计算。这些问题大都来源于营筑城垣、开凿沟渠、修造仓窖等土木和水利工程实际。其中包括长方体、棱柱、棱台、圆柱、圆锥、园台、楔形体等，都给出了正确的体积计算公式。缺点是圆周率取π＝3，这个数值误差很大。根据刘徽对商功章的注释可以知道，这些公式是通过具体模型的分解与合并来证明的，这说明中国古代的体积理论有很高的水平和不同于西方数学的独特的处理方法。均输章是平均赋粟和徭役问题，计算如何按人口多少、物价高低、路途远近等条件，合理摊派税收和民工等。包括正比、反比、复比例、连比例、等差级数等数学方法。盈不足章属于盈亏类问题和算法。盈不足术是通过两次假设取值，然后根据公式求出未知数，其原理与现在求高次代数方程和超越方程近似解的线性插值法是相同的。在中世纪欧洲，这种方法叫做“双设法”或“契丹算法”，是欧洲符号代数学产生以前的一种主要代数方法。据考证，古代阿拉伯数学文献里，“契丹”一般指的是中国。因此，不少人认为，中国的盈不足术经阿拉伯传入欧洲，在西方数学领域起了重要的作用。方程章讲的是多元一次联立方程组（线性方程组）问题及解法。这是中国古代数学的一项重大成就。用算筹表示多元一次联立方程组，类似于由方程组各系数构成的矩阵，其解法与现在中学代数中的消元法基本相同。古希腊和印度也有过一些特殊的联立方程组解法，但没有一般解法，远不如方程章的算法完整。而在欧洲，提出同类问题要晚一千多年，直到十六世纪才有了加减消元法。在这一章中还引入了负数概念，并给出了正负数加减运算法则：“同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之；其异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之。”负数的出现，反映出对意义相反数量的正确理解，从而实现了数的范围的一次新扩充。这一项杰出创造，也是以中国为最早。印度于七世纪引进负数概念。欧洲十二世纪对负数有所认识，而直到十六世纪才有比较深刻的理解，这一点甚至影响到线性方程组的求解问题。勾股章主要内容是勾股定理的应用和简单测量问题。其中包括勾股容方和勾股容圆问题，以及二次方程x2＋ax＝b（a＞0，b＞0）的解法。关于勾股数的原术及刘徽注中的有关公式，是对整数论的重要贡献，也是世界数学史上整数勾股数研究的较早成果之一。《九章算术》及其中一些问题曾经传到日本、朝鲜、越南、印度、阿拉伯和欧洲，对世界古代数学发展产生了相当大的影响。《九章算术》已被译成英、俄、德、日等多种文字。
《九章算术》对中国古代数学的总结及其对后来的影响《九章算术》系统地总结了西周至秦汉时期我国数学的重大成就，是中国古代数学体系形成的显著标志。它的丰富多采的内容，大多来自生产和生活实践，集中反映了我国古代高度发展的数学水平，以及理论密切联系实际和以算法为核心的突出特点，并对后世数学发展起了十分重要的作用。《九章算术》对中国数学的影响，正像欧几里得《几何原本》对西方数学的影响一样，是非常深刻的。中国历史上著名数学家如刘徽、祖冲之、李淳风、贾宪等，都曾经深入研究和注释过《九章算术》，并通过这种形式提出许多新概念和新方法，为推动中国数学发展作出了重大贡献。《九章算术》是中国古代数学流传最久，影响最大的一部代表作，也是历代进行数学教育的课本之一。唐代国子监算学馆规定十部数学著作作为学生的数学教科书，后代称为“算经十书”，《九章》就是其中的一部。
第五节数学与天文学在中国古代，天、算、农、医是成就卓著的四大学科，其中天文学和数学的关系尤为密切。天文历法的进步促进了数学的发展，而数学的发展也为天文历法提供了有力的工具。前面提到的《周髀算经》是一部天文学著作，其中也包含了勾股定理、勾股测量、开平方和分数运算等数学方面的成就。东汉晚期的天文学家刘洪在《乾象历》中用“强”、“弱”来表示某数的过剩近似值和不足近似值。他的“强弱”概念与“正负”概念是相通的，并且明确指出：“强正弱负，强弱相并，同名相除，异名相消；其相减也，同名相消，异名相从；无对互之。”这与《九章算术》中的正负数加减运算法则完全一致。刘洪为解决由于月球绕地球运行不等速运动问题，提出了一次内插法。根据这种方法，通过某日某时前后的两个实际观测值，可以比较精确地推算月球在该日该时的实际位置。一次内插法实质上就是盈不足术，它使历法精度有所提高，并为研究二次和高次内插法、不等间距内插法，提供了新方向，后世在这一领域获得了很大的进展。在西方，古希腊天文学家采用几何方法解决这一问题，相当繁琐，远不如中国的代数方法简捷明确。此外，由于汉代历法中出现了推算上元积年的需要，因此也产生了求解一次同余式或简单不定方程的问题，后世在这一领域也取得了极其突出的成就。
第六节数学家秦汉时期曾涌现出一批数学家和有很高数学造诣的人。如许商、杜忠在当时都有数学专著行世。据文献记载，汉北平侯张苍（？—前125）、大司农耿寿昌，皆以善算名世，他们都做过修订数学著作的工作①。刘歆（？—23）“数术、方技，无所不究”②，著有《三统历谱》等。著名天文学家张衡（78—139）“善机巧，尤致力阴阳、天文、历算”③，著有《灵宪》、《算■论》。他所用的圆周率相当于π＝ 10 ≈3。16，优于古圆周率π＝3，是对这一课题较早的研究和改进。刘洪“善算，当世无偶”④，曾创制《乾象历》，有的文献还记载他著有《九章算术》⑤。马续“善《九章算术》”⑥。郑玄（127—200）“少学书数，八九岁能下算乘除。年二十一，博极群书，兼精算术”⑦，曾注释多种重要典籍。蔡邕（133—192），好辞章、数术、天文，“先治律历，以筹算为本，天文为验”⑧。他已知道圆周率π＞258＝3。125，比古率有所改进。徐岳“素习《九章》，能为计数”⑨。据载，著有《九章算术》、《算经要用百法》、《大衍算术注》、《数术记遗》等，实际上很可能是他对《九章算术》作过注释。另外，《数术记遗》一书现有传本，但也有人认为是伪托之作。以上这些人都是中国数学史上较早见于史籍记载的数学家和擅长数学的学者，遗憾的是由于史料缺乏，现尚难以对他们的数学成就做出详细的论述。
① 刘徽《九章算术注》原序，钱宝琮校点本《算经十书》上册，中华书局1963 年版。② 《汉书·律历志》、《艺文志》、《楚元王传》。
③ 《后汉书·张衡传》。
④ 《后汉书·律历志》。
⑤ 唐释慧琳：《大藏经音义》卷六。
⑥ 《后汉书·马援传》。
⑦ 刘孝标：《世说新语》“文学”第四引《高士传》。
⑧ 《后汉书·蔡邕传》，《四部丛刊》影明刊本《蔡中郎集·上汉书十志疏》。⑨ 李昉：《太平御览》卷七五四。
第四十四章天文学第一节历法从太初历到乾象历秦汉时期天文学得到了长足的发展，初步形成了我国的传统天文学体系。其中尤为突出的是独具特色的历法体系的形成。秦统一中国，推行“车同轨，书同文字”。又在全国统一施行颛顼历，以建亥之月（十月）为岁首，年终置闰。汉承秦制，仍用颛顼历，但到汉武帝时，颛顼历渐与实际天象不符，把闰月总是放在闰九月也不能适应农业生产对掌握季节的需要，司马迁等人提议改历。武帝于太初元年（公元前104 年）下令从全国征募二十余人“议造汉历”。经过实测和推算，共提出了十八种方案，最后确定了邓平提出的81 分法，即每月有294381天，每年有■ 3653851589天，19 年有7 个闰月。
新历在太初元年颁行，是为太初历。太初历的原文虽然失传，但西汉末年刘歆按太初历改编的三统历却完整地保存下来，成为现今能见到的最古老的一部完整的历法。它不仅包括根据日月运动推算朔望、24 节气，安排历日的方法，还有推算日月食，预告行星位置等内容，这确立了我国古历的基本框架。制定历法必先造仪器，搞天象观测，按实测来确定数据和检验历法疏密，这一原则在制定太初历前后得到了充分的体现，也对后世产生了深远的影响。中国古历采用阴阳合历，即以太阳的运动周期作为年，以月亮圆缺周期作为月，以闰月来协调年和月的关系。由太阳运动而确立的24 节气反映了一年四季的变化，与农牧业生产密切相关，在汉初的《淮南子·天文训》中首次出现了完整的24 节气名称，与现今通行的名称一致。24 节气是相间的12个中气和12 个节气的总称。太初历首次确定以中气所在决定月的名称，如雨水所在月为一月，春分所在月为二月，。。冬至所在月为十一月，等等。而无中气的月无名称，只能称为前一个月的闰月，这一原则称无中气置闰。它合理地调整了年和月的关系，使季节与月份大体稳定，从太初历开始一直延用到现在。
东汉早期发现了月亮的视运动不均匀，即月亮每天的行度不一样，而且知道了月行最快的地方每月朝前移三度。刘洪在乾象历（公元206 年）里首次把月亮的快慢不均匀编成表，为后世月离表和日躔表的先声。要计算某一天月亮的位置，应在平均值上再加上快慢多少的改正，又用内插法推算任何时刻的月亮位置。采用了这些数学方法，推算日月合朔和日月食发生的时刻便提高了准确程度。刘洪还发现，月道（白道）和日道（黄道）不在一个平面上，中间有六度夹角，这就造成了不是每次日月合朔都发生交食。他认为合朔时月亮离黄白交点超过十五度半就不会发生交食，这就是发生食的判断数据，即现代的食限概念，这一数据后代各历都遵用不改。
中国古历的特色从太初历到乾象历，中国古历无论在内容、形式、计算方法等方面都形成中国的特色而跟欧洲历法有了明显的不同。如欧洲古罗马公元前46 年起实行的格里高利历，时代同中国的太初历相当，年长也取用2651 4天，同战国时古六历和东汉四分历相同。但月是31 天和30 天两种，与我国的朔望月不同，它没有天文意义，与月亮运动无关。格里历为阳历，我国古历为阴阳合历。欧洲古历仅包括历日安排，大小月年年相同，而我国古历各年不同，且还包括交食、行星、节气、晷漏等内容，可以说是一种天文年历，为了编制历法而带动了整个天文学的发展。中国古历以观测为基础确定各种天文数据，而以代数学方法处理这些数据，推算天文学问题；欧洲从古希腊天文学以来一般以几何学系统立论来处理数据。我国古历以周天3651 4度的制度划分全天，度下为分，各历采用不同的进位制；欧洲以周天360°为分划，度下为分、秒，皆以六十进位。秦汉以来，由于皇权的加强，而历法又由皇家颁行，颁历权成为皇权的一部分。天文历法事业由皇室经办，逐渐形成了我国天文事业的官办性质，而民间研习天文历算逐渐受到了限制，这也与西方的情况大不相同。
第二节浑仪和浑象浑仪天文仪器系统也在秦汉时代形成了。为了编制太初历的需要，制造了观测天象、测量角度的仪器，这就是浑仪和浑象的研制。西汉时落下闳就制造过浑仪，据记载他是四川人，“武帝征侍太史，于地中转浑天，改颛顼历，作太初历”①。晋天文学家虞喜也说他“为汉孝武帝于地中转浑天，定时节，作太初历”②。这里的“地中”指阳城（今河南省登封县吉城镇），古传此地为地之中央。“浑天”即浑仪，亦称浑天仪，是用于观测的仪器，以之测量日月行星恒星在天空的位置，确定两个天体之间的角度。它应包括一个用来对准天体的管或衡，又有刻有度数的标尺，如地平环、子午环、赤道环等。当窥管或窥衡对准了要观测的天体时，各种标尺所指示的读数就是天体的位置。东汉的贾逵还在浑仪上加进黄道环，首次制造了一架“黄道铜仪”。汉代的浑仪虽没有留传下来，我们相信后世保留下来的浑仪不会跟它相去太远。
应该指出，在制定太初历之前，测量角度的天文仪器已经存在。战国时代石申编制的星表是基于角度的测量，长沙马王堆西汉早期墓出土的帛书，记载了秦汉时代几十年间行星的运动，也是基于角度的测量③。《后汉书·律历志》曾提到汉初使用一种“圆仪”来量度日月的运动，后来浑仪流行，圆仪失传。1977 年在安徽阜阳一西汉早期墓中出土了带�