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第十五节
这样一来，算术实践有时导致乍看起来似乎是不可能的分析操作，或者导致在结果上没有意义的争端。然而，我们依据较仔细的审查发现，迄今可应用的算术概念经过稍微修正或扩展便消除了不可能性，结果容许完全清楚的诠释，尽管是在较广泛的应用领域。当数学家以这种方式被迫违背他们的意愿修正他们的概念，并获知这样的步骤的价值和优点时，听任自由的发明更迅速地满足需要，甚或走在需要的前头，就变得更为自然了，请目睹一下格拉斯曼、哈密顿（Hamilton）和其他人关于矢量运算发明的例子吧，在这里数概念是为了适应几何学、运动学、力学、物理学等等的需要。
第十六节
让我们也考虑一下把截然分明的概念形成不仅给予无限地增加和减少、而且也给予实无穷的近代尝试吧。伽利略在他的对话（1638）的第一天提及这样的悖论：整数的无限集合似乎比平方的集合更大，而后者的一个数都对应于前者的每一个数，以致集合必定是相等的。他得出结论说，相等、较大和较小的范畴并不适合于无穷。这个思考的痕迹可以追溯到古代，它导致
G．康托尔（Cantor）关于集合论的研究。伽利略的例子表明，人们如何可能达到如下的定义：如果一个集合中的每一个元素是另一个集合中的元素且是唯一的元素，那么这两个集合具有相同的势，反之亦然。两个这样的集合被称为等价的。若一个集合等价于它本身的部分，则它是无穷集合。康托尔的研究表明，即使在实际上无穷的领域，恰当地构造排序概念，也能使人们依旧坚持一种概观。
第十七节
关于数论的逻辑－数学的描述，我们可以提到L．库蒂拉特（Couturat）撰写的明晰而有趣的书。我们的观点符合心理学的和人类学的考虑，这些考虑在任何情况下都是对逻辑方面的必要补充。对主体发展的深入细致的历史研究，在这里可以具有与费利克斯·克菜因（felix Klein）的著名讲演相同的有益效果。
第十八节
在从一开始我们正在处理就我们的实际兴趣而言是分立的对像之处，数论的应用是相对单纯的。许多探究对象，诸如广延和持续时间、力的强度等等，都不是即时地来自直接可数的等价成员的群。不用说，存在许多方式把它们分割为等价的可数的成员，对于这些成员中的每一个本身来说也同样，如此等等，但是必须使分割的极限人为地变得可感知和可区分，直到我们希望在其中止步的分割程度，因此最后单位的大小是任意的和约定的。然而，一旦我们以这种方式作出连续统，碰巧包含在进行的研究中的它的一部分能够由计数部分、即由达到任何期望的准确度的测量来决定。人为构造的数字连续统是在任何准确性水平上追踪自然连续统的条件的手段。可是在某处或彼处，我们必须在一个极限上停止，因为感官即使在人为支持时也是不完善的。例如，我们不能以无限的准确性观察，测量尺度覆盖被测量的对象，或它们的末端重合。这一相同的不确定性同样侵染了指明测量被测量的对象和测量尺度之间关系的结果之数值。事实上，相同的缺陷也与算术实际应用于分立地可数的对象有联系，因为它们预设的完美的等价实际上从来也没有被满足。
第十九节
如果我们不得不把连续变化的物理条件或物理量化归为量度，那么我们首先必须选择比较的对象或测量单位，并拟定如何判断另一个对象等于标准。倘若在不变的条件下对象能够相互代替而不损失结果，我们便认为对象在某些方面是相等的。两个重物相等，只要把它们单独地和分离地放在同一天平的同一盘子中时，它们引起相同的编转；两个电流相等，只要在它们相继地通过同一不变的电流计时，它们确定指针相同的偏转；对于磁极、热的程度和量等等而言，情况也类同。如果把n个等于该单位的重物放在同一盘子，让n单位的电流通过同一电流计导线（或通过闭合的相邻导线）等等，那么，若该单位是完全可以相互交换的，则结果仅仅由数值的度量n决定。
第二十节
如果借助数值量度确定了一系列相似的物理案例的决定性的条件，那么我们往往能够借助简单的推导法则、以对于描述事实来说充分的准确性，来描述它们相互依赖的方式。诸如折射定律、波意耳气体定律、毕奥－萨伐尔（Savart）定律这样的例子，都说明了这一点。当这样的定律一旦已知，它们常常能够在直接测量是困难的或不可能的地方促进间接测量。例如，连续地改变光源的强度是困难的，但是依据距光源等距离的、成直角被照明的两个接近的等面积的相等照明亮度，用眼睛判断两个光源相等则是容易的。如果现在我们能够表明，一个光源成直角地照明的面积恰恰像另一个相等的照明面积一样亮，而后者准确地收集的等于第一个的4，9，16……倍而却处在2，3，4……倍的距离处，那么能够把任何照明状态的测量化归为确定在相等亮度处的距离的关系，甚至通过眼睛把该测量限定为判断相等的和不相等的照度。
第二十一节
当我们把来自相似部分的物理探究构成整体时，我们必须总是当心，这种配合是否符合实在的添加物。例如，鉴于较强的光能够毫无保留地由相似的、独立的（不连贯的）光构成整体，而且总强度是各部分强度之和，因此众所周知，在某些条件下，我们对于一个小光源的光不再能这样做。同样地，同一音调的几个音叉的声音强度一般地不是各个强度之和，除非仅仅在周相重合的案例中。其他这样的告诫在 W2的PP．39…57中提过了。
《认识与谬误》
恩斯特。马赫著 洪佩郁译
第二十章 与度规空间对照的生理空间
第一节
当我们的意识被充分唤醒时，我们发现生理空间即我们的感性直觉的空间是现成的，它与作为概念的度规空间大相径庭。几何学的概念大都是通过深思熟悉的经验获得的。欧几里得几何学的空间处处且在所有方向上具有相同的性质，它是无界的和无限的。如果我们把视觉空间——约翰内斯·米勒和赫林的“看见的空间”，它尤其对于观看的观察者来说是熟悉的——与此比较一下，我们发现它既不处处且在所有方向上均匀，也不是无限的，亦不是无界的。我在其他地方讨论的事实告诉我们，“上”和“下”、“近”和“远”对应于迥然不同的感觉。对于“右”和“左”来说情况也一样，虽然在这里作为生理对称的事实的结果。各向异性呈现在生理相似的现象中。当列车驶入时进入隧道的石块表现上增大，当列车驶离时五块表现上缩小，这十分显著地使我们想到这样的日常经验：与对应的永远不变的几何学对象不同，视觉空间的视觉对象在不缩小或增大的情况下不能被移动。甚至从处于静止的熟悉的对象来看，这也是清楚的。把一个开口大且深的圆筒形玻璃杯放在人的面部之上，或者把圆柱形的玻璃棒水平托住对着眉毛的弓形，它在这样一个不寻常的位置将显著地显现圆锥形，像喇叭一样地向着面部张开，或者在玻璃棒的案例中显得变粗了视觉空间类似于超几何空间而非欧几里得空间。它不仅是有界的，而且在这一点上是相当狭窄地有界。普拉蒂奥的实验表明，如果一个表面后退距眼睛超过三十米，那么投射到该表面的图像不进一步地显著缩小。任何必须依靠直接印象的朴素的人，包括古代的天文学家，都把天空大略看作是有限半径的球。事实上，托勒密已经了解、欧勒在近代讨论过的天穹的展平，告诉我们视觉空间在不同方向具有不相等的广延。O．措特（Zoth）开始给出这一事实的心理解释，他表明该现象取决于视域高度相对于头的角度。视觉空间的狭窄边界正是从全景绘画的可能得出的。最后，我们注意到，在开始时，视觉空间根本不是度规空间：它的位置、距离等等在质上而不是在量上可区分。我们称之为视觉度量的东西，只不过是在原初的物理经验和度量经验的基础上逐渐发展起来的。
第二节
皮肤这个具有复杂的几何形状的封闭表面也传达空间感觉。我们不仅区分刺激的质，而且也区分受附带感觉刺激的部位。如果这最后的东西的差别仅仅因位置不同而异，而且越是如此分离越远的话，那么我们的生物学的需要已被满足。 E．H．韦伯（Weber）充分地阐明了与度规空间相对照的皮肤的空间感觉的巨大反常。这个范围的两点之间的距离——在此距离恰恰能够区分出两个相邻位置的接触——在舌尖上比在脊背中部小50－60倍。皮肤的部位显示出空间感觉的巨大等级。其点紧夹它们之间的上唇和下唇的范围似乎显著地接近，倘使人们横向抚摸面部以及这个范围的话（图9）。如果这个范围的点是处于两个相邻手指尖的距离的集合，然后沿着手的内表面滑向前臂，那么这些点似乎完全在那里落到一起（图10）。
在该图中，实际路线是虚线，表现路线用实线画出。皮肤触摸的物体的形状可以被区分，
但是皮肤的空间感觉大大劣于眼睛的空间感觉。舌尖正好能够分辨直径 2毫米的管子的环形截面。两维的、有限无界的（闭合的）黎曼（Riemann）空间在这里对应于皮肤的空间。根据肢，尤其是臂、手和手指的运动的感觉，添加了对应于第三维的某些东西。我们逐渐学会用比较简单和比较直观的物理学框架诠释这种感觉系统。就这样，在暗处，我们能够大致不错地估计大拇指和食指之间的桌面的厚度，甚或我们利用每一只手的一个手指也能行。触觉空间像视觉空间一样与度规空间无关，它如同后者是各向异性的非均匀的：机体的主要方位即前后、上下、左右，都一致在两种生理空间中是不等的。
第三节
我们发现空间感觉在它不具有生物学功能之处没有发展，这并不会使我们诧异。由于我们对体内器官的功能没有影响，什么会成为告知它们的位置的要点呢？例如，空间感觉没有一直达到鼻子。人们无法区分，用两个小试管之一导入的气味是在左边被感到还是在右边被感到；但是，按照E．韦伯的观点，触觉的灵敏性能够达到远至耳鼓，耳鼓决定较强的声音感觉来自右方还是左方。这有助于确定声源的位置，尽管十分粗糙，只是对比较精确的定向来说不合适。
第四节
尽管在某些感觉中，空间和定域的特征使其本身比在其他感觉中被更独特地感觉到，但是詹姆斯确实正确地认为，每一种感觉都是有一定的空间性。定域因为受刺激的要素在这里对应于每一种感觉，由于通常存在几个或许多要素，我们能够在某种意义上谈论感觉的容量。在他的叙述中，詹姆斯数次提及赫林，赫林表示灼热的表面或被照明的空间等等像类空间（space－like）的印象。通常把音乐的音调作为完全非空间的感觉的例子，但是赫林附带评论说，较深沉的音调比较高的音调具有较大的容量，在我看来这是恰当的。柯尼希棒的最高听得见的音调几乎给人以刺耳的印象，而深沉的音调似乎充满整个头脑，或者更恰当地讲，似乎充满整个声学空间。定域声源的可能性即使不完善，但同样使人想起音调感觉和空间之间的关系。斯坦豪塞（Steinhauser）的双焦点视力和两耳听力之间的平行不可能走得很远，但是存在着某种类似，定域化借助小容量的高音调最佳地达到了，并且比较分明地确定了位置。
第五节
不同感觉包容的重量空间仅仅部分地是共同的物理领域。对于触觉而言，整个皮肤是可以达到的，但是只有它的一部分是可见的。另一方面，视觉作为距离的感觉本身在物理上达到更远的地方。空间定位用耳朵比用眼睛要不确定得多，被局限于更为狭窄的空间。不管怎样放松了不同空间感觉之间的原来的联系，它们都会通过联想进入关联，不管在此时具有比较实际的重要性的系统是什么，都准备好补充和代理其他感觉。不同感官的空间感觉可能是完全联系起来的，但是它们将是不等价的。不需要借助普遍的空间感官增强和完善明显的和适当的联想粘结剂。
第六节
所有的空间感觉都具有正确地指导自我保存动作的功能。这个共同的功能构成了它们之间联想的粘结剂。用眼睛看的观察者主要由视觉空间的感觉和观念引导，因为这些对他来说是最熟悉的和最有用的。在暗处或当他闭上双眼时，在他的皮肤上缓慢地画出的图形，借助被感觉的动作，通过想像他自己完成这些动作，便被翻译为视觉图像。例如，如果某人在我的额头画一个图形，该图形对我而言好像是R，那么，若他站在我的面前，他必定写的是R。在我头的背后，他必须写R，在我的腹部，他必然写R，倘若我辨认出这些记号是他本人写的R的话。仿佛正是在头两个案例中，我想像我的头是透明的，我自己在同一方位正站在它的背后，正在完成书写动作。在最后的案例中，我想像我本人在我自己的腹部上书写并离开腹部阅读。有视力的人要到达盲人的空间观念是十分困难的。盲人几何学家桑德森的成就表明，盲人也能够达到高度明晰的事实。对他来说，要使他自己定位必定在某种程度上依然是困难的，他用来把他的黑板划分为正方形的十分简单的方法表明了这一点。他通常把大头针牢固地嵌入角落和中心，并用绳子把大头针的顶端连接起来。不过，恰恰因为这种简单性，初学者必然特别容易理解他的有独创性的讲解。就这样，他通过把立方体分割为六个全等的锥体，每一具有立方体的一个面作底并在立方体的中心具有顶点。证明锥体的体积是相等底和高的棱柱的体积的三分之一这个命题。
第七节
我们可以假定，对于像人一样其身体具有三个主要方向的所有动物而言，空间感觉系统十分类似于人的系统，尽管不怎么发达。这些动物在上和下、前和后方面有差别。至于左和右，它们似乎是相同的，但是有助于行进速率的几何学和质量的对称不必使我们对解剖的和生理的不对称感到失望：不管不对称可能多么轻微，它都清楚地在这样的事实中出现，即与对称开头密切有关的动物常常呈现出十分不对称的形状；请目睹一下不对称的鲽，或无壳的蜗牛的对称和它们的有壳的亲属的不对称。
第八节
现在，如果我们询问，什么对生理空间和几何学空间是共同的，我们发现很少有一致之处。两种空间是三维流形。对应于几何学空间的每一点A，B，C，D……，存在着生理空间的点A’，B’，C’，D’……。若C处在B和D之间，则C’处在B’和D’之间。我们可以说：对于几何学空间中的连续运动，存在着与之对应的生理空间中的坐标点的连续运动。在其他地方已经指出，我们出于方便的缘故假定的连续性对于两种空间中的无论哪一个不需要是实在的。如果我们进而毫不犹豫地假定，生理空间是天生的，那么它显示出与几何学空间过分微小的一致，以致无法认为它是康德意义上的几何学先验发展的合适基础。人们至多可以利用它作为拓朴学的基础。那么，生理空间为什么如此不同于几何学空间？不过，我们如何设法从第一种的观念过渡到第二种的观念？这些是我们此刻将要尽可能尝试回答的问题。
第九节
让我们从简单的和普遍的目的论的反思开始。设想蛙的皮肤在各个地方受到酸滴的刺激。蛙将针对每一个刺激以相应于被刺激的部位的特定防卫动作做出回应。遇到不同的基本感官并沿不同路线进入动物身体的在质上等同的刺激引起反应，这些反应通过不同的路线反回到环境。对皮肤有效的东西对视觉和每一种其他感觉也有效。不仅防卫或逃跑的动作，而且攻击的动作，都相对于受刺激的部位和受影响的感官的个性限定了范围。我们可以回想一下蛙抓捕苍蝇，或者刚孵出的小鸡啄食谷粒。迄今所说的东西也适合于纯粹反射的反应，对植物以及低等动物来说就是如此。然而，如果反射反应由于某种目的不得不受到影响和修正。自愿的动作不得不代替它们，那么刺激作为留下记忆痕迹的感觉必定变得有意识。实际上，正如自我观察表明的，我们不仅辨认出刺激的质——例如燃烧，无论什么敏感