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们在B处在终端拉绳子，我们将看到以前处于A和B之间的绳子的部分在B处通过，而与此同时绳子将趋近直线的形式。与组成曲线相比，较少数目的绳子的相似部分即等价的物体足以组成连结A和B的直线。断言直线借助纯粹的想像被认为是最短的线，这是错误的。就质而论，我们的的确确能够在想像中以完善的精确性和可靠性复制绳子经历的形式和长度的同时发生的变化。但是，这无非是关于物体的先验的经验——思想中的实验——的复活。对空间的纯粹被动的冥思从来也不会导致这样的结果。测量是包括物理反应、重合实验在内的经验。具有不同方向和长度的形象化的或想像的线不能即刻相互应用。必须用被认为是不可改变的物质对象实际地经验这样的程序的可能性。把直线作为两点之间最短距离的本能的知识赋予动物是错误的。如果刺激吸引动物的注意力，如果动物如此转动以使它的对称平面通过刺激的对象，那么直线是唯一地由该刺激决定的运动的路线。在洛布关于动物向性（tropisms）的调研中，明确地表明了这一点。
第二十一节
进而，仅有形象化不能证明三角形的任何两边在一起大于第三边。确实，如果把两边通过绕底角顶点旋转放在底上，那么只有通过想像行为才能看到，两边与它们在圆弧上运动的自由端点最终将交叠，从而比填补底还要多。但是，我们不应该达到这一描述，倘若在与物质对象的关联中实际上没有目睹该程序的话。欧几里得从每一个三角形的较大边与较大角相对的事实，迂回地和人为地演绎这个真理。但是，在这里，我们知识的来源也是经验——物理的三角形的边运动的经验；然而，这个来源被演绎的形式吃力地隐蔽起来，这并没有伴随明白和简洁的增加。
第二十二节
但是，用在先的经验的真理并未穷竭直线的性质。如果把任何任意形状的金属线放在木板上与两个直立的钉子接触，并如此沿着滑动，以使它总是与钉子接触，那么在钉子之间的金属线的部分之形式和位置将不断地变化。金属线越直，变化将越轻微。弯曲的金属线在绕它自己的固定点中的两个转动时，它将继续不断地改变它的位置，但是直的金属线将依然保持它的位置，它将在它自身之内转动。现在，当我们把直线定义为由它的点之中的两个完全决定的线时，在这个概念（concept）中，除了从所提到的物理经验推导出的经验概念（no－tion）——这种概念决不是由想像的生理行为直接提供的——的理想化之外，不存在其他东西。
第二十三节
平面像直线一样，也是由它的简单性刻画其生理学上的特征的。它似乎在各个部分都是相同的。每一点都唤起邻近点的空间感觉的平均值。每一部分无论多么小都与每一其他无论多么大的部分相像。但是，如果必须把这些性质表达为几何学的陈述，那么也需要在与物理对象的关联中获得的经验。平面像直线一样，在生理学上关于它本身为对称，倘若它与物体的中线平面重合或与同一平面成直角的话。但是，为了发现对称是平面和直线的恒久的几何学性质，必须把二者的几何作图作为可动的、不可改变的物理对象给出。生理上的对称与度规性质的关联也需要特殊的度规证明。
第二十四节
在物理上，平面通过把三个物体在一起摩擦来构造，直到得到三个面A，B，C为止，每一个面严格地符合另一个，既没有凸面，也没有凹面，而只有平坦的面，正如图16表明的，这是一个能够完成的结果。实际上，凸状和凹状是通过摩擦去除的。类似地，比较真实的直线能够借助不完善的直尺得到：首先放置直尺使它的末端紧靠点A，B，接着从它的位置转动它通过180度的角度，再把它紧靠A，B放置，此后把如此得到的两条线之间的平均值作为比较完善的直线，并用最后得到的线重复该操作。在通过摩擦产生平面时，也就是说，在通过摩擦产生在所有点和两侧具有相同形式的面时，经验提供了附带的结果。把这样两个平面一个放在另一个之上，人们将获悉，该平面到自身之上是可取代的，在自身之内是可转动的，正像直线那样。在平面上任何两点之间拉长的丝线完全落在平面内。横越平面任何边界部分的拉紧的布块与平面重合。因此，平面在它的边界代表面的极小值。如果把平面放在两个尖锐的点上，它还能够绕连结点的直线转动，但是任何在这条直线之外的第三点固定了平面，也就是说，完全决定了它。
在上面提及的给维塔莱·焦尔达诺（Vitale Giordano）的信中，当莱布尼兹把平面定义为把无界的固体分为两个全等的部分，把直线定义为把无界的平面分两个全等的部分时，他最直率地使用了这种关于物质对象的经验。
第二十五节
如果把注意力指向平面关于它自身的对称性，并且假定两点一个在它的每一侧，每一个关于另一个为对称，那么将发现，平面上的每一点都与这两点等距离，莱布尼兹的平面定义达到了。直线和平面的一致性和对称性，分别是它们为长度和面积的绝对极小值之结果。尽管为给出极小值的边界必须存在，但却没有包含其他附属条件。极小值是唯一的，在它的种类方面是单独的；因此，它关于边界点为对称。由于极小值的绝对性，每一部分不管多么小，再次展现出相同的极小性质；从而展现出一致性。
第二十六节
有机地相关的经验真理可以相互独立地造成它们的外观，无疑在已知它们相关的事实之前好久，这一点就被发现了。但是，这并没有妨碍它们后来被辨认出是包含在另一个之中并被另一个决定，是可以相互演绎的。例如，假定我们获知了直线和平面的对称性和一致性，我们乐于演绎，两个平面的交是直线，平面的任何两点能够用整个处在平面内的直线连结起来等等。只是难以觉察的和不引人注目的经验的极小值需要这样的演绎，这一事实不应该诱入下述错误：认为这个极小值是完全多余的，相信仅仅形象化和推理对构造几何学来说是充分的。
第二十七节
像直线和平面的具体的形象的图像一样，我们关于圆、球、柱等等的形象化也这样被物质的经验丰富，并以这种方式首次表示服从富有成效的几何学处理。促使我们的儿童在他们的概念和图画中仅仅保留典型特征的同样经济的冲动。也导致我们把从我们的经验中导出的图像图式化和概念理想化。虽然我们在自然界中从未碰到完善的直线或精密的圆，但是在我们的思维中，我们却事先计划好从这样存在的偏离中抽象。因此，几何学涉及的是通过经验对象的图式化产生的理想对象。
第二十八节
我在其他地方评论说，在初等的几何学教育中，占支配地位地修习问题的逻辑方面，而忽视向青年学生打开包含在经验中的知识的源泉，确实是错误的。使人感到可喜的是，人们注意到，与我们相比较少固于传统的美国人破除了这种体制，正在把一种实验几何学作为导言引入系统的几何学教育。
第二十九节
在几何学概念的本能的、技术的和科学的获得物之间，无法画出一条截然分明的界线。一般地讲，我们也许可以说，由于在工业和经济领域里的劳动分工，由于日益增长的特殊对象的使用，知识的本能的获得物进入背景之中，知识的技术的获得物开始了。最后，当测量本身变成目的和职业时，在各种各样的测量操作之间得到的关联获得了强大的经济利益，我们达到几何学的科学的发展时期，我们现在继续向这一点行进。
第三十节
几何学的度量相互依赖的知识是用形形色色的方法达到的。在用面开始度量面之后，某种另外的进步几乎是不可避免的。在一个容许分为相等的部分的平行四边形域中，以致每一个包含m个域的n排部分域并排相互放置，计数这些域是不必要的。通过把测量边的数目在一起相乘，便发觉域的面积等于mn这样的域，而且很容易发现用画对角线形成的两个三角形中的每一个面积等于mn／2这样的域。这是算术对于几何学的第一次和最简单的应用。同时发生的是，面积的度量依赖于其他度量即线和角的度量，也被发现了。人们发觉，矩形的面积比具有相同长度的边的斜平行四边形的面积大；因而，面积不仅取决于边长，而且也取决于角度。另一方面，正如容易看到的，由平行于底的木条构成的矩形，通过位移能够转变为具有相同高和底的任何平行四边形而不改变它的面积。正像每一个木工知道的，具有它们的给定的边的四边形在它们的角方面还未被决定。他添上对角线，使他的四边形变成三角形，而三角形在边给定时是刚性的，也就是说，就它们的角而言也是不可变的。由于察觉到度量相互依赖，从而引入真实的几何学问题。施泰讷（steiner）贴切而公正地把他的主要著作冠以《几何学图形相互依赖的系统发展》的书名。在施内尔（Snell）有独创性的、未受赏识的论基础几何学的专题著作中，上述问题甚至对初学者来说也变得显而易见。
第三十一节
用金属线构造一个平面的物理的三角形。如果其边之一绕一个顶点转动，以便使在那点的内角增加，那么将看到运动的边改变它的位置，对边随角一起变大。金属线除了现在之前的那些以外，将需要新的片断完成最后提到的边。这个实验以及其他相似的实验能够在思想中重复，但是心理实验从来只不过是物理实验的摹本。如果物理实验先前没有导致我们关于在空间上不可改变的物理物体的知识——度量的概念，那么心理实验恐怕是不可能的。根据这种特点的实验，有助于我们达到这样一个真理：在三角形内可发现的六个度规量（三个边和三个角）中，至少包括一个边在内的三个度规量足以决定三角形。如果在决定三角形的组分中只给予一个边，那么所考虑的角或者必须是给定的边包含的角，或者是与较大的边相对的角——至少若决定不得不是唯一的话。在达到三角形由三边决定和它的形式独立于它的位置的洞察后，可以得出结论说，在等边三角形中所有三个角和在等腰三角形中与等边相对的两个角必定是相等的，不管角和边无论以什么方式相互依赖。这在逻辑上是确定的。但是，由于那个理由，它所依据的经验基础丝毫也不比它在类似的物理学案例中那样多余。
第三十二节
边和角相互依赖的模式首先在特殊的例子中被自然地辨认出来。在计算矩形和由它们的对角线形成的三角形的面积时，必定会注意到这样的事实：具有3和4个长度单位的边的三角形给出具有3，4，5个长度单位的边的直角三角形。因此，成直角性表明与边之间的确定的、合理的比率相关。关于这个趔的知识借助三个分别为3，4和5个长度单位的相关联的绳索立桩标出直角。等式3＇2＇＋4＇2＇＝5＇2＇现在引起注意，已证明它的类似物对于具有长度a，b，c的边的所有直角三角形都是有效的（一般公式是a2＋b2＝c2）。众所周知，这一关系多么深刻地进入度规几何学中，距离的所有间接测量如何可以追溯到它。我们将努力揭开这个关系的基础。
第三十三节
首先必须评论一下，对于所谓的毕达哥拉斯定理，无论希腊的几何学演绎还是印度的算术演绎，都无法避免考虑面积。所有演绎依据的、在整个演绎中以不同形式本能地出现的一个本质之点如下：如果使三角形a，b，c（图17） 在它自己的平面上滑动一个短距离，那么可以设想，它留在后面的空间被它占有的新空间弥补或补偿。这就是说，边中的两个在位移时扫过的面积等于第三边扫过的面积。这个概念的基础是三角形面积守恒的假定。如果我们把面看作是十分微小的、但不改变第三维厚度（为此这在目前的关联中不产生影响）的物体，那么我们将再次具有作为我们根本假定的物体体积的守恒。相同的概念可以应用到四面体的平移，但是它在这个例子中不导致新的观点。体积守恒是刚体和流体通常具有的性质，被旧物理学理想化为不可入性。在刚体的情况下，我们具有所有部分之间的距离保持不变的附加属性，而在流体的情况下，刚体的性质仅就最小的时间和空间元才存在。
第三十四节
如果使具有边a，b，c的斜三角形在边b的方向上位移，那么根据上面叙述的原理，仅仅b和c将描绘出等价的平行四边形，这些平行四边形在相同的平行线上的相等的一对平行边方面是相同的。如果a与b成直角，且把三角形与〔成直角地移动距离c，那么边c将描绘出正方形c2，而另外两个边将描绘出平行四边形，其组合面积等于正方形面积。通过刚才在先的观察，两个平行四边形分别等价于a 2 和b 2 ——以此便达到了毕达哥拉斯定理。相同的结果也可以通过下述程序得到（图18）：
首先使三角形与a成直角地滑动距离a，然后与b成直角地滑动距离b，在这里a 2 ＋b 2 将等于c扫过的面之和，该和显然是c 2 。取一个斜三角形，与刚才完全相同的程序容易且明显地给出比较普遍的命题c 2 ＝a 2 ＋b 2 －2abcos γ 。
第三十五节
因此，三角形第三边对于另外两边的依赖由被围住的三角形的面积决定；或者，用我们的概念来讲，由包含容量的条件决定。也能直接地看出，上述的等式表达了面积的关系。确实，也可以把两个边之间所夹之角看作是对第三边起决定作用，在这个案例中等式将明显地呈现截然不同的形式。让我们略微仔细地考察一下这些不同的度量。如果两条长度为a和b的直线之端在一点相交，那么把它们的自由瑞连结起来的线〔的长度将包括在一定的限度之间。我们将有c≤a＋b和c≥a－b。仅仅形象化不能告知我们这个事实；我们只能从思想中的实验——基于有形实验并再现它的一种程序——获悉它。例如，这一点将通过抓牢a并转动b，首先直到它形成a的延长部分为止，其次直到它与a重合为止。直线原本是由心理性质刻画特征的唯一具体的图像——我们能够从具有确定特点的物体中得到这一图像，它以具有无限小但却恒定的厚度的绳子或金属线的形式把容量的最小值插入它的端点的位置之间——只能够以一种唯一决定的方式完成它。如果几条直线通过一点，那么我们用它们的方向从心理学的角度在它们之间进行区分。但是，在通过关于物理对象的度规经验得到的抽象空间中，不存在方向的差异。通过一点的直线在抽象空间中只能借助在它之上指定第二个物理点来完全决定。定义在方向上恒定的直线，或者把角定义为方向之间的差异，或者把平行直线定义为具有相同方向的直线，就是在心理学上定义这些概念。
第三十六节
当我们开始在几何学上刻画或决定被形象地给予的角时，各种不同的方法供我们支配。当距离在两个固定点之间被指定，而使每一点在交点之外置于角的分离的边之上时，角就被决定了。为了使定义变得一贯，可以选择位于距顶点相同的和不变的距离的点。于是，相互并排地处于与它们的顶点重合的同一平面的给定角之等倍数，不能用这些点之间的距离的相同等倍数来量度，这种不方便的理由在于，这种决定角的方法未被引入初等几何学。当使角截取的圆周或圆面积的除得尽的部分与它在中心的顶点都处在圆的平面上时，通过选取该部分便得到更简单的度量、更简单的角的特征。在这里所包含的约定是比较方便的。
在利用圆的弧决定角时，我们再次仅仅度量容量，即由具有简单的确定的形式的物体占据的容积，而该物体是在距顶点等距离的角的臂上的两点之间被引入的。但是，单纯的直线距离能够刻画圆的特征。两种量度，即直线的长度量度和角度的量度，原则上是作为基本的量度使用的，其他量度都由它们推导而来，这是一个明白、直接的问题以及由此导致的简易和方便的问题。这决不是必要的。例如（图19），在没有特定的角的量度的情况下，可以用下述途径决定直线与另一条直线成直角地相交：使它的距第一条直线上的两点等距离的所有点处在距交点相等的距离。能够以完全相似的方式决定角的平分线，通过连续的平分能够得到