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第二十二节
如果设想圆无限地增大，那么当不断增加的弧达到圆的半径的收敛与平行一致的地点时，这些半径将停止相交。于是，圆通过所谓的“界线”。类似地，如果球面无限地增大，它将通 罗巴切夫斯基命名的“界面”。边界线与边界面具有的关系，类似于大圆与球面具有的关系。球面几何学与平行公理无关。但是，由于能够证明，由界线在界面上形成的三角形与在无限半径球上的有限的三角形相比并没有显示出角之和的过量，因此欧几里得几何学的法则对于这些边界三角形也有效。为了找到边界线的点，我们在处于平面上的平行把（ bundle）a α ， b β ， c γ ， d δ ……中决定这些平行中的每一个的点 a，b，c，d，这些点相对于aa中的点a如此定位，以致于 ∠α ab＝ ∠β ba， ∠γ ca， ∠α ad＝ ∠δ da……（参见图33）。由于整个构图的同一性，可以把每一个平行看作是界线的“轴”，当界线绕这个轴转动时，它将产生界面。同样地，也可以把每一个平行看作是界面的轴。出于相同的理由，所有界线和所有界面都是全等的。每一个平面与界面之交是圆；只有当割平面包含轴时，它才是界线。在欧几里得几何学中，不存在界线，也不存在界面。在这里，它们的类似物是直线和平面。如果不存在界线，那么必然地，任何不在直线上的三点必定在圆上。因此，比较年轻的鲍耶能够用这最后的公设代替欧几里得公理。
第二十三节
设a α ， b β ， c γ 是平行系， ae，a 1 e 1 ，a 2 e 2 ……是界线系，这些系中的每一个都把另一个分为相等的部分（图33）。因此，在相同的平行之间的任何两个界弧的相互之比率，例如ae＝u和a 2 e 2 ＝u’，仅仅依赖于它们分开的距离aa 2 ＝x。我们可以一般地提出u/u’＝ex/k，在这里k如此选取，以使e将是自然对数系的底。以这种方式引入指数，并借助这些引入双曲函数。对于平行性的角来说，我们得到s＝cot1/2 ∏ （ p）＝e p/k 。若p＝0，则s＝ π ／ 2；若p＝ ∞ ，则 s＝0．
一个例子将阐明罗巴切夫斯基几何学与欧几里得几何学和球面几何学的关系。对于具有边a，b，c和角A，B，C的直线罗巴切夫斯基三角形来说，当C是直角时，我们得到 sinh（a/k）＝sinh（c/k）A。 。在这里，sinh代表双曲正弦，sinhx＝1/2（e x －e …x ）而sinx＝（1/2 i）（e ix －e －ix ），或者sinhx＝x／1！＋x 3 ／3！＋x 5 ／5！＋x 7 ／7！和sinx＝x／1！－x 3 /3＋x 5 /5！－x 7 /7！＋……。
考虑到在前述的公式中所包含的关系sin（xi）＝i（sinhx）或sinh（xi）＝isinx，人们将看到，上面罗巴切夫斯基三角形给出的公式通过对球面三角形成立的公式，即sin（a／k）＝sin（c／k）sinA，此时用ki代替前者中的是，并像他那样把k看作是球的半径，而在通常的公式中假定它的值是一个单位。用同一方法把球面公式重新变换为罗巴切夫斯基公式是明显的。如果k与a和c相比十分大，那么我们可以把我们自己局限于在二者案例中得到的关于sinh和sin的平面欧几里得几何学公式的级数的第一项a／k＝（c／k）sinA或a＝CsinA，我们可以认为这是罗巴切夫斯基几何学和球面几何学二者对于十分大的人的值或对于k＝ ∞ 的极限情况。同样可以允许说，这三种几何学在无穷小的领域相符。
第二十四节
正如我们看到的，仅仅在平行线收敛的假定上，就有可能构造自我一致的，无矛盾的几何学体系。确实，不存在我们可以达到的几何学事实的单一观察，表明支持这一假定，人们公认假设随我们的几何学本能有如此大的变化，以致容易说明诸如萨凯里和兰伯特这样的早期探究者对它的态度。我们的想像因为被我们的形象化模式和熟悉的欧几里得概念统治着，只是零碎地和逐渐地有能力把握罗巴切夫斯基的观点。在这里，我们必须容许我们自己与其受源于单一的狭窄空间的部分的感觉图像的引导，还不如受数学概念的引导。不过，我们必须承认，我们通过我们的首创精神在某一任意范围内藉以描述几何学经验的事实之定量的数学概念，并没有以绝对的精确性复写后者。不同的观念能够以相同的精确性在观察可以达到的领域内表达这些事实。因此必须把事实与理智的建构仔细区分，事实启示了理智建构物的形成。后者即概念必须与观察一致，此外必须在逻辑上相互一致。现在，这两个要求能够以一种以上的方式付诸实现，不同的几何学体系由此而来。
第二十五节
显然，罗巴切夫斯基的工作是持久的和紧张的智力努力的成果，可以推测，在他能够综合地介绍它之前，他首先从一般的考虑并通过分析的（代数的）方法获得了他的体系的明晰概念。在这个麻烦的欧几里得形式中的说明决不是诱人的，它可能主要由于这一事实：罗巴切夫斯基和鲍耶的工作的意义如此之迟地才得到承认。
第二十六节
罗巴切夫斯基仅仅发展了欧几里得第五公设的修正结果。但是，如果我们抛弃欧几里得的“两条直线不能封闭空间”的断言，那么我们将得到罗巴切夫斯基几何学的伴随部分。局限于面，它将是球面几何学。我们有大圆代替欧几里得直线，所有大圆相交两次，其中每一对封闭两个球面二角形。因此，设有平行。黎曼第一个宣布了关于三维（正曲率）空间的类似的几何学的可能性，这个概念甚至到高斯好像还没有出现，可能由于他对无穷的偏爱。亥姆霍兹在物理学上继续黎曼的研究，轮到他时，他在他的第一个出版物中也忽略了罗巴切夫斯基的负曲率（具有虚参数k）空间的案例的发展。实际上，对这个案例的考虑对数学家来说比它对物理学家来说要更加明显。亥姆霍兹在所提及的出版物中仅仅处理了欧几里得的零曲率案例和黎曼的正曲率空间。
第二十七节
因此，我们能够以尽可能的精确性用欧几里得几何学以及罗巴切斯基和黎曼的几何学描述空间观察的事实，倘若在后两种情况下我们取参数k是足够大的话。物理学家迄今没有发现违反欧几里得几何学的假定k＝8的理由。坚定不移地固守最简单的假定，直到事实迫使它们复杂化或修正它们，正是他们的实践和长期的、可靠的经验的结果。这同样与所有伟大的数学家对于应用几何学的态度一致。物理学家和数学家对于这些问题的行为总的来说是不同的，但是这不能用环境来说明，即对于前一类探究者来说，物理事实具有最大的意义，几何学在他们看来只不过是方便的研究工具，而对后一类探究者来说，正是这些问题是探索的首要素材，具有最大技巧的、特别是认识论的兴趣。设想数学家尝试性地修正我们几何学经验的最简单的和最直接的假定，设想他的尝试富有新颖的洞察，那么从纯粹的数学兴趣来看，肯定没有什么东西比应该一步执行这些探索更自然的了。我们熟悉的几何学的类似物是针对任何数目的维度在较广阔和较一般的假定之上构造的，这些假定不要求被视为比理智的科学实验更多的东西，不具有应用于实在的观念。在支持我的评论时，提一下克利福德（Cliford）、克莱因、李（Lie）和其他人在数学中作出的进展是充分的。思想者很少变得如此沉浸在幻想之中，或者如此远离实在，以致就我们的空间想像超过给定的感觉空间的三维的若干维度，或者构想用可以看见背离欧几里得几何学的任何几何学描述那种空间。高斯、罗马切夫斯基、鲍耶和黎曼在这一点上是十分清楚的，肯定不能认为他们对随后在这个领域出现的荒诞不经的虚构负有责任。
第二十八节
针对几何学的建构物在无穷处和不可达到的地点的行为作假定，然后接着把它们与我们即时的经验加以比较，并使它们适应于它，这与物理学家的的原则不一致。像斯托尔茨这样的物理学家就偏爱注重作为他的观念源泉直接给予的东西，他认为在被迫改变它们之前，也可以把它们应用于达不到的东西。但是，他也可能极其感激存在几种适当的几何学发现，我们也能够对于有限空间运用它们，一句话，他感激废除某些因袭的思想障碍。
假如我们生活在具有混浊的、不透光的大气的行星表面上，我们在假定地球的表面是平面、我们唯一的工具是矩尺和链的基础上着手测量，那么大三角形角之和超过量的增加会立即迫使我们用测球面学代替我们的测平面学。作为一个原则问题，物理学家不能排斥在三维空间中的类似经验的可能性，尽管会迫使接受罗巴切夫斯基几何学和黎曼几何学的现象，应该呈现出与我们迄今已经习惯的现象如此奇特的对照，以致人们将不认为它们的实际发生是可能的。
第二十九节
给定的物理对象是直线还是圆弧，这个问题没有被恰当地阐明过。拉紧的绳索或光线肯定既不是一个，也不是另一个。问题仅仅在于，是否对象在空间中如此作用使得它更好地符合一个概念而不是另一个概念，是否它以对我们来说是充分的、我们可以达到的精密性完全符合任何几何学概念。把后一个案例排除在外，便出现了这样一个问题：我们是否能够实际上消除、或者至少在思想上决定和顾及与直线或圆的偏离呢，换句话说，我们是否能够矫正测量的结果呢？但是，在实际测量中，我们总是依赖物理对象的比较。如果按照直接的调研，这些对象在可以达到的最高的精确度上与几何学概念一致，但是间接的测量结果却比考虑所有可能的容许误差更多地偏离了理论，那么肯定应该责成我们改变我们的物理－度规概念。物理学家将有理由等待这样的境况的出现，而数学家将总是有他的思辩的自由天地。
第三十节
在自然探究者使用的所有概念中，最简单的概念是空间和时间概念。与他的概念建构物一致的空间和时间的对象，能够以极大的精密性构造。几乎每一个可观察的偏离都能够被消除。我们能够在不违反事实的情况下，设想任何空间的或时间的建构物的实在化。下余的物体的物理性质是如此密切地关联在一起，以致在这里任意的虚构都因事实而受到狭窄的限制。理想气体、理想流体，理想弹性体都不存在，物理学家知道，他的虚构仅仅近似地、通过任意简化地符合事实；他完全意识到无法消除的偏离。我们能够在不违反任何事实的情况下构想球、平面等等，并以不受限制的精密性构造它们。因此，如果任何物理事实碰巧使我们的概念的修正成为必要的，那么物理学家将于可牺牲较少完美的物理学概念，而不是放弃较简单的、较完美的和较持久的几何学概念，因为这些几何学概念形成了他的所有理论的牢固基础。
第三十一节
但是，从另一个方向来看，物理学家能够从几何学家的劳动中得到实质性的帮助。我们的几何学家总是涉及感觉经验的对象。然而，只要我们开始用像原子和分子——从它们的真正本性来看，它们从未能够成为感觉注视的对象——这样的思想事物操作，我们无论如何没有任何义务认为它们处在对我们感觉经验的欧几里得三维空间来说独有的空间关系中。这可以引起相信原子思辨是不可或缺的思想者的特别注意。
第三十二节
让我们在思想上返回几何学在实际生活需要中的起源。认识空间的物质性和空间的对象不管它们的运动之不变性，在生物学上对人的存在来说是必不可少的，因为空间的量直接与我们的需要的量的满足有关。当我们的生理组织未充分地提供这类知识时，我们使用我们的手和足与空间的对象比较。当我们开始相互比较物体时，我们便进入物理学领域，不管我们使用我们的手还是人造的量器。一切物理学的决定都是相对的。因此，所有几何学的决定同样相对于量器具有有效性。测量概念是关系的概念，该概念没有包含未在量器中包含的东西。在几何学中，我们仅仅假定，量器将始终并且处处与它在某一其他时间和某一其他地点重合的东西重合，但是，这个假定对于与量器有关的东西不是决定性的。代替空间的生理学的质的，是截然不同定义的物理的质，不要把后者与前者混淆起来，如同不要把温度计的指示与热的感觉等同起来一样。的确，实践的几何学家借助保持在恒定温度中的量器决定被加热的量器的膨胀，并注意到上述的叠合关系受到这种非空间的物理环境扰乱的事实。但是，对于纯粹的空间理论而言，所有关于量器的假定都是不相干的。完全在生理学上造成的认为量器是不变的习惯，心照不富地、但却不合理地保留下来。假定量器，从而一般地假定物体在空间中位移时经受了变化，或者它们在这样的位移时依然未变化——这个事实本身只能使用新的量器才能决定——也许是完全多余的和无意义的。这些考虑使所有空间关系的相对性变得显而易见。
第三十三节
如果量器的引入实质上修正了空间的质的标准的话，那么把数的概念引入几何学则使该标准受到更进一步的修正和增强。存在着通过这种引入获得的细微的区别，仅有叠合观念是永远无法达到这种区别的。算术应用于几何学导致不可公度性和无理数的概念。因此，我们的几何学概念包含不是空间固有的外加的要素；它们用某种纬度描述空间，也任意地以比空间观察更大的精确性可能实现。事实和概念之间的这种不完美的接触说明了不同的几何学体系的可能性。能够就物理学说严格相同的话。
第三十四节
导致我们的几何学观念转变的整个运动，必定能够被描绘成一个健全的和健康的运动。没有人认为，这个在若干世纪前开始、但在现在大大增强了的运动终止了。相反地，情况完全证明我们的下述期望是有正当理由的：它不仅促进了数学和几何学的巨大进展，尤其是在认识论的关系方面，而且也促进了其他科学的巨大进展。确实，这个运动受到几位著名人物的强大激励，但是它无论如何不是源于个人，而是源于普遍的需要。从参与其中的人的职业差别将看到这一点。不仅数学家，而且哲学家和教育学家也对它作出了巨大的贡献。不同的探究者寻求的和没有联系的方法也是如此。莱布尼兹表达的观念以稍微改变的形式在博里叶、罗巴切夫斯基、鲍耶和H．艾布（Erb）到那里重现哲学家于贝韦格（Ueberweg）在他反对康德时十分接近生理学家贝内克的观点，在他从付艾布（H．艾布提到K．A．艾布（Erb）是他的先驱）出发的几何学观念中行动在亥姆霍兹工作的颇大部分之先。
第三十五节
前面的讨论导致的结果可以概括如下：
（1）我们的几何学概念的起源被发现是经验。
（2）满足相同的几何学事实的概念的多样性被揭示出来。
（3）通过把空间和其他流形比较，便达到比较普遍的概念，几何学概念是这些概念的特例。几何学思想就这样摆脱了因袭的、迄今被想像为不可超越的局限。
（4）通过证明与空间同源但又不同于空间的流形的存在，提出了全新的问题。空间在生理学、物理学、几何学上是什么？由于其他性质也是可相信的，把它的特殊性质归因干什么？空间为什么是三维的？如此等等，不一而足。
第三十六节
对于诸如此类的问题，虽然我们没有必要期望今天或明天就可以作出回答，但是我们却在被调研的领域的整个深奥性面前停滞不前。我们将对“愚笨的人”的不适当的苛评不置可否，高斯曾预言他们会到来，他们的态度决定了他秘而不宣。但是，对于高斯、黎曼和其他后继者所遭受到的高居于科学界的人物的辛辣的和吹毛求疵的批评，我们将有话要说。探究者在知识的最外面的边界上发现了许多事物，这些事物没有平稳地滑入所有的头脑，但是由于这个缘故它们不是胡说八道，难道他们在自己身上从来也没有体验过这个真理吗？确实，这样的探究者易于出错，但是，即使一些人的错误也往往在它们的结果方面比另一些人的发现更富有成效。