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B组的6位选民（其选举意愿顺序为格拉夫博士、波因特博士、马尼福尔德博士和迪济特博士）为他们的第一选择当选而高兴，但也感到不安，因为他们的最后选择也当了选。假定选举重复下去，一切照旧，那么6个选民中就有两位决定不去理会美国数学学会的说法（“标出较少的候选人不会获得战术上的有利条件”），而且都把选票投在格拉夫博士身上。这样选举意愿就会分成4类：组别 选民数 选举意愿顺序（从最好到最差）
A 6 格拉夫博士 迪济特博士波因特博士 马尼福尔德博士B‘ 4 格拉夫博士 波因特博士 马尼福尔德博士 迪济特博士B“ 2 格拉夫博士C 5 格拉夫博士 马尼福尔德博士 迪济特博士 波因特博士在第一个顺序表上，格拉夫博士再次成为全体选民一致选择。他支持者的11票超额选票的6／17分配给A组，4／17分配给B’组，2／17分配给B”组，还有5／17分配给C组。于是B“组就被淘汰了。因为其成员除在第一选择外不能再标出其选举意愿了。因此情况形成如下：组别 选民数 选举意愿顺序（从最好到最差）
A 3。9 迪济特博士 波因特博士 马尼福尔德博士B‘ 2。6 波因特博士 马尼福尔德博士 迪济特博士C 3。2 马尼福尔德博士 迪济特博士 波因特博士在第一次选举中，第二位候选人未能达到定额，所以得票最低，也就是说波因特博士就被淘汰掉，而他的支持者的2。6张选票要归并到C组中：组别 选民数 选举意愿顺序（从最好到最差）
A 3。9 波因特博士 马尼福尔德博士C、B‘ 5。8 马尼福尔德博士 波因特博士其余的两位候选人都少于定额的6票，但波因特博士由于票数较少而被淘汰，而马尼福尔德博士就被宣布当选。B组中两位聪明的选民标出了不足的选票反而得到更可取的结果：他们的第三选择而不是第四选择就赢得了一个席位。
在实际的选举中，这样的结局可能难以实现，布拉姆斯写道：“我希望能搞清楚。我并不是说投票者会一成不变地把战略考虑搞得很绝对（在美国数学学会投票说明的反例中）。这些考虑不仅相当复杂，有时还由于其他选民在对策运用方面的反策略考虑而形成中立。相反，我认为投票者按选举意愿对所有候选人的顺序进行排列的意见，在黑尔选举制下并不总是合理的。”
况且，在布拉姆斯的反例中，如果B组中有太多的选民试图进行巧妙投票并投了不足的选票，那么结果会失控。假定6位选民中有5位在其投票中只投格拉夫博士，那么在第一次投票之后，情况就会变成：由于没有一位候选人达到定额，因此波因特博士被迫退出，而其支持者加入C组；组别 选民数 选举意愿顺序（从最好到最差）
A 3。9 迪济特博士 马尼福尔德博士C、B‘3。8 马尼福尔德博士 迪济特博士这次马尼福尔德博士必须退出竞选了，剩下的迪济特博士是获胜者，与原先B组的6位选民在他们的选票上排列全部4位候选人时他所处的位置一样。
由于惟恐你认为布拉姆斯的反例取决于当选票按比例地转移时而产生的分数，他解释了另一个反例，只是在这个反例中，全部选票由于候选人被淘汰而转移。这个实例涉及了21位选民，他们要从4位候选人当中选出1位代表。由于只有1位候选人被选，因此这种投票选举制是一种淘汰竞选，选举则在1位候选人获得11票的微弱多数后就立即终止。我把这个问题留给你，让你充当对策论学家的角色并解释一个反例。当然，其目标是以下述方式确定选举意愿，即让一些选民可以从不理会美国数学学会的意见而得到好处。（在本章最后你会看到布拉姆斯所提出的反例。）
黑尔选举制的问题，要比这些公认的人为的反例深得多；仅仅知道某些选举意愿，或只有一些选民确切掌握有关他们竞选伙伴的全部选举意愿，这些难题就会出现，如果“敌对”的选民没有采取有效的对抗策略，或者如果相当多具有同样想法的选民不试图采用巧妙的花招，问题也同样会出现。罗彻斯特大学的吉迪恩。多隆和理查德。克罗尼克提请人们注意黑尔选举制的反常特点，即使所有选民都能诚恳地投出反映他们全部选举意愿的选票，这种反常特点也会出现。①多隆和克罗尼克注意到，在黑尔的选举制中，一位候选人如果接受附加选票，那么他可能受到损害。的确，多余的选票可能使一位当选者成为落选者。
为了理解这种反常的可能性，可考虑多隆和克罗尼克的例子。
并以我们的老朋友阿蒂拉、吉。乔、哈尔。汉道特和弗里达。弗里拉夫为例。这次该选区有26位选民，有2位候选人当选，所以定额为9票，26位选民的意愿是多种多样的，不必划分自由派阵线和保守派阵线：由于阿蒂拉已经达到定额票，他当选了。阿蒂拉没有超额的选票，所以是最低票数的当选者，而吉。乔被淘汰了，他的5张选票转移给B组：汉道特拥有11张选票，因此当选了。
现考虑第二组选举意愿，除两位选民外，它与前一组相同，原先这两位选民宁愿投弗里拉夫票，不愿投汉道特票（C组），现在改而投汉道特票，不投弗里拉夫票（C‘组）。换句话说，C’组的选举意愿与B组的选举意愿相同。因而汉道特开始有8张第一位选票，比以前多了两票：阿蒂拉已再次立即当选，没有超额选票转移。然而这次最低票数当选者是弗里拉夫，不是吉。乔。而且弗里拉夫的4票与E组中的5票结合，选出吉。乔，超出定额：组别 选票数 选举意愿（从最好到最差）
B 6 汉道特 吉。乔C‘ 2 汉道特 吉。乔E、D 9 吉。乔 汉道特这样的结果不太反常。回想一下，除了2位选民把汉道特从第二选择抬高到第一选择外，所有的选举意愿顺序都是一样的。这样就具有否定他的选举的效果。多隆和克罗尼克得出结论：“这简直太不公平，1位候选人落选了，是因为他（或她）得到的选票过多了。大多数选民可能会十分反感和愤怒，被转让了，他们听到假想的（但是理论上是可能的）选举之夜的报道：”奥格雷迪先生在今天选举中没有获得席位，但是，如果在第二个地方而不是在第一个地方有5，000名支持者投他的票，那么他会反败为胜的！’“
过多的选票能使一位当选者成为落选者这一反常的可能性，不仅仅是黑尔选举制的人为产物。美国电话电报公司贝尔实验室的数学家布拉姆斯和彼得。菲什伯恩在其合著的《认可的选举》一书中指出，它还可能困扰着类似于流行的相对多数选举这样的选举制，该选举制必然会产生2位得票最多的候选人之间的最后角逐。现在考虑3位候选人，马尔柯。迪拿芝、帕特里克。奥罗克、巴兹尔。杰斐逊，同时有17位选民，他们的选举意愿如下：组别 选票数 选举意愿（从最好到最差）
A 6 迪拿芝 奥罗克 杰斐逊B 5 杰斐逊 迪拿芝 奥罗克C 4 奥罗克 杰斐逊 迪拿芝D 2 奥罗克 迪拿芝 杰斐逊如果所有的选民都诚实地投票，那么迪拿芝（得6票）和奥罗克（得6票）将进行角逐，最后迪拿芝当选，11票对6票。
现在设想除了最后一组选民把迪拿芝从第二选择抬高到第一选择之外，其余的选举意愿均相同：组别 选票数 选举意愿（从最好到最差）
A 6 迪拿芝 奥罗克 杰斐逊B 5 杰斐逊 迪拿芝 奥罗克C 4 奥罗克 杰斐逊 迪拿芝D‘ 2 迪拿芝 奥罗克 杰斐逊在第一次投票中，迪拿芝（8票）和杰斐逊（5票）进行角逐，于是迪拿芝输了，8票对9票，因为奥罗克的4位支持者成为了杰斐逊的支持者，迪拿芝获得的支持虽有增加，但却反常地破坏了他的胜利。
布拉姆斯还认为，在不需要最后角逐的简单多数选举中，候选人在预选投票中有何进展的公告也可以产生同样的反常效果。假定上述的第一组选举意愿中有两位D组选民喜欢选奥罗克而不选迪拿芝，投票的结果将通知杰斐逊的支持者，他们支持的候选人已处于最后一名。于是杰斐逊的支持者得到了信息，他们必须放弃他们支持的候选人，策略性地转投他们的第二选择意愿迪拿芝，迪拿芝因而将当选。假定上述的第二组选举意愿中，迪拿芝得到了D组选民的支持，投票结果将通知奥罗克的支持者，他们支持的候选人已处在最后一名。理所当然地，他们将转而支持杰斐逊。尽管迪拿芝也获得两位以上选民的支持，杰斐逊还是击败了迪拿芝。实际上，民意测验代替了第一轮投票，使实际选举相当于最后的角逐。
多隆在另一篇论文②中指出，黑尔选举制的另一种困境是：一位候选人在两个单独选区内都可以获胜，而在两个选区的合并投票时却会落选。在多隆的例子中，1个候选人由4组选民选举。每个选区有21位选民，因此每个选区当选的定额是11票。
在两个选区内，最初时无一人达到定额11票。在第一选区，汉道特得到倒数第一位的选票，被淘汰了，他的支持者的选票都转给阿蒂拉，使阿蒂拉得到11票当选。在第二选区，阿蒂拉从选票最低的候选人弗里拉夫处获得3票，成为当选者。
现在再考虑当这两个选区合并成单一选区时会发生什么情况，其中42位选民的选举意愿仍然不变：现在当选定额是22票。由于选民的选举意愿完全相同，要是阿蒂拉不再当选，那么它将是反常地矛盾。但是反常的情况还是占优势。由于没有一个人能得到规定额选票，所以吉。乔被淘汰了，而其支持者的8票转移到他们的第二选择，也就是投汉道特的票：合并成一大选区组别 选票数 选举意愿（从最好到最差）
A 16 阿蒂拉 汉道特 弗里拉夫B 8 汉道特 弗里拉夫 阿蒂拉C 9 汉道特 阿蒂拉 弗里拉夫D 6 弗里拉夫 汉道特 阿蒂拉D‘ 3 弗里拉夫 阿蒂拉 汉道特全部候选人再次都没有得到定额选票，因此得票最少的弗里拉夫被淘汰了。弗里拉夫在D’组中的3位支持者把他们的选票转移到他们的第三选择阿蒂拉，而弗里拉夫6位在D组的支持者则转移他们的选票给汉道特：合并成一大选区组别 选票数 选举意愿（从最好到最差）
A，D‘ 19 阿蒂拉 汉道特B，C，D 23 汉道特 阿蒂拉汉道特已得到23票，成为胜者。
这种反常结果也可能在相反的情况下，即当大选区划分成两个较小的选区时出现。不论合并成大选区或是划分成小选区，这种可能性“将使不公正地划分选区成为一种非常具有吸引力的选择，从而影响其选举结果”，多隆得出这样的结论。
而这决不是悖论的终结！布拉姆斯与菲什伯恩在一篇有趣的文章中③提醒人们注意黑尔选举制中两种扰乱人心的特点：不到场的悖论和挫折的大多数的悖论。在不到场的悖论中，对于排列在最后的一些候选人，增加的选票可以使该候选人成为一位当选者，而不是落选者。换句话说，一些把某候选人排列在最后的选民留在家里可能要比把该候选人填写在他们选票的最后好一些；在挫折的多数的悖论中，即使一些候选人可以在面对面角逐中击败其他每一位候选人，但却不能当选。（我极力主张那些渴望成为对策论专家的人们，去构思一些数字的例子，以便一一证明这些悖论；如果你未能成功，你可以随时请教布拉姆斯和菲什伯恩的可读性文章。）
挫折的多数的悖论不仅仅折磨着稀奇古怪的黑尔选举制，而且还折磨着许多普通的选举制，诸如简单多数选举制等。设想“自由派”先生（49％的优势），“温和派”先生（10％的优势）和“保守派”先生（41％的优势）之间进行三方竞选。现在考虑三派中每一位选民的第二选择。自由派选民当然喜欢“温和派”先生胜过“保守派”先生，因而在这些候选人之间的两方竞选中，“温和派”先生将当选。他获得选票的59％（对“保守派”先生的41％）；而保守派的选民们必定喜欢“温和派”先生胜过“自由派”先生。所以在这些候选人之间的两方角逐中，“温和派”先生可得51％的选票（对“自由派”先生的49％），也将当选。然而，在三方竟选中，“温和派”先生将落在最后。在一些预选中，如果没有候选人获得半数以上的多数票，那么要在两位得票最多的候选人中间进行最后的角逐。即使“温和派”先生在两方竞选中能够击败任何一个对手，但他也可能被阻止进入最后的角逐。
悖论还会更加深刻。假设在政治领域内，“自由派”先生是属于中间偏左的，而“保守派”先生只是中间略微偏右。那么，在“自由派”先生和“保守派”先生中间进行最后竞选时，所有温和派选票都会投向“保守派”先生，使他因获得51％的选票而当选。现在由于在选举意愿上有这样巧妙的联合，于是“保守派”先生要靠两票方可当选。“自由派”先生只靠一票就能当选，而“温和派”先生却具有在面对面竞争时击败任何一位对手的能力。所以说在你选择你的选举制时，也就选择了你的当选者。
布拉姆斯鼓吹一种选举制——认可选举制。它既可完全消除这里讨论的悖论，减低它发生的可能性，也可减少它的影响。这种认可选举以“一人多票”的原则取代由来已久的“一人一票”的原则。换句话说，虽然每位选民对每位候选人只能投一票，但是每位选民只要他喜欢就可以认可许多位候选人（即都投他们的票）。其概念就是，选民不必担心他的选票白白浪费在不受欢迎的候选人身上（比如说，在1980年的总统选举中的约翰。安德森），因为选民还可以再投另外他认可的候选人，不论他是谁。
在认可选举中，当选者将不是在简单多数选举中由于其对手分散了选票而获得胜利的候选人。认可选举制不太可能使多数派的希望受挫。而且当多数派还没有明确的选举意愿时（换句话说，当存在群体非可递性时，即当群体喜欢麦克唐纳胜过伯格王，喜欢伯格王胜过温迪，而喜欢温迪又胜过麦克唐纳时），认可选举制将就大多数人所赞同的意愿进行选择。我们可以看出，当罗纳德、克拉拉、赫布依靠2票来选择餐馆进餐时，那是多么有利于不诚实的投票，即为你的第二选择而不是你的第一选择投票。当有3位候选人时，认可选举制就可防止这种不诚实的投票：决不会出现有利于你投第二选择的票而不投第一选择的票这样的情况。此外，在认可选举制中，决不会出现留在家里并不去投票反而得利的情况，如同你在黑尔选举制中所做的那样，而且也不会在选区合并或分开时发生滑稽可笑的事情。
尽管认可选举制具有这些明显的优点，但显然没有被世界上任何公共论坛（除了少数专业学会外）所采用，只有在联合国安全理事会选举秘书长职位时采用过，其会员国可以投一人以上候选人的票。美国的纽约州和佛蒙特州都曾考虑采用认可选举制，但制定的议案已在州立法中被否决。对策论学家在影响公众政策方面所起的作用还是微不足道的，即使是在他提出一个建议，而该建议对社会的益处在数学上似乎是无懈可击的时候。
回答提出的问题此处布拉姆斯提出的事例，可能有利于缩短你在黑尔选举制中的投票时间。现有11张选票和4位候选人竞选1席公职。
组别选票数 选举意愿顺序（从最好到最差）
A 7 格拉夫博士 马尼福尔德博士 迪济特博士 波因特博士B 6 马尼福尔德博士 格拉夫博士 迪济特博士 波因特博士C 5 迪济特博士 马尼福尔德博士 格拉夫博士 波因特博士D 3 波因特博士 迪济特博士 马尼福尔德博士 格拉夫博士由于没有一位候选人获得11票，最低得票者波因特博士落选了，而他的支持者的3票都被转移给C组：组别 选票数 选举意愿顺序（从最好到最差）
A 7 格拉夫博士 马尼福尔德博士 迪济特博士B 6 马尼福尔德博士 格拉夫博士 迪济特博士C、D 8 迪济特博士 马尼福尔德博士 格拉夫博士仍然没有一位候选人获得简单多数票，于是又有一位不受欢迎的候选人马尼福尔德博士被淘汰了。当他支持者的6票和