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夫。马达奇所说，3个一组的友好数并不易发现，在上面这一组数字中3个数分别有959，959和479个除数。
数学家们虽然注意到了“保障来自反复”这一古老谚语，他们可不是见好就收的人。有人想看看如果选一个数，算出其真除数之和，然后再算出该和的真除数之和，如此往复无穷，会出现什么样的情形。在大部分时间里，计算总是索然无味，但如果你一直这么做下去，就会难得地在某处回到了原来数上。以12，496为例，其真除数为1，2，4，8，11，16，22，44，71，88，142，176，284，568，781，1，136，1，562，3，124和6，248。这些数相加，得14，288。再把14，288的真除数相加，得数为15，472（如果你不相信可以自己试一试！）。再做两次这样的运算，会先后得出14，536和14，264。现在看14，264的真除数，它们分别为1，2，4，8，1，783，3，566和7，132。将这7个除数相加，噢，你看，是12，496。如果你不怕浪费时间的话，就从14，316这个数开始做同样的运算。你会在28轮后重新得出这个数！
第二章 阿基米德的报复当那位伟大的印度数学家斯里尼瓦萨罗摩奴阇得了结核病住在伦敦医院时，他的同事G。H。哈迪去看望他。这位哈迪从来就不善于激起谈兴，他对罗摩奴阇说：“我是乘坐出租车来的，车的牌号为1729。对我来说，这个数字似乎很枯燥，我希望它不是个凶兆。”
“胡说，”罗摩奴阇回答说，“这个数字一点也不枯燥，相反它非常有趣。它是可以用两种不同方式表示的作为两个3次方之和的最小数。”（罗摩奴阇不知怎么立即就辨别出1729＝13＋123和93＋103。）
罗摩奴阇死于1920年，年仅32岁。他是一位数论学家，是研究整数属性的数学奇才。数论是数学中最古老的领域之一，在一定程度上说也是最简单的领域。数当然是数学最普遍的基础材料，然而，关于它们仍然还有许多根本问题没有解答。
公元前3世纪，当波加的阿波罗尼奥斯天真地继续研究阿基米德的大数时，可能不知晓等待他以及数代数学家的将是什么。“我要让你们看一看谁懂得大数，”阿基米德想。据说，他出于报复之心而虚构出关于牧牛的计算问题，解决这一问题所需的数字是如此庞大，以致直到最近才得以解决。而且，解决这一问题的并不是人而是机器：世界上最快的电脑。
提出类似牧牛这类极其困难的问题只不过是阿基米德许多令人难以置信的功绩之一，这些功绩使他在他那个时代就成了一个传奇式人物。公元前212年，罗马将军马塞卢斯围困了西西里的叙拉古港，该城之王希伦请求王亲阿基米德驱逐60艘敌舰。阿基米德不久前发明了杠杆（他因此说了这句名言：“给我一个支点，我会搬动整个地球。”），他将杠杆和滑轮结合在一起制成巨大的吊车，这些吊车将那些入侵的战船吊出了港口。在战斗中，吊车还得到弩石弹射器和凸面镜的协助，凸面镜把阳光聚焦到船上使船着火。结果，罗马舰队遭到了毁灭。马塞卢斯说：“我们不要和这个几何怪物进行战斗了，他拿我们的船当杯子，从海中舀水。”
阿基米德使敌人3年不敢接近。后来，有一个晚上，当叙拉古人忙于宗教庆典时，罗马士兵攀上城墙并打开城门。当马塞卢斯的军队蜂拥而入时，他告诉部下说：“任何人都不得斗胆对阿基米德妄动一个手指头，这人是我们的座上宾。”
马塞卢斯的一个士兵在庭院中找到阿基米德，其时，阿基米德正在沙地上画几何图形，这位士兵违抗指令而拔出了剑。阿基米德请求说：“我的朋友，在你杀死我之前，请让我把我的圆画好。”这位士兵没有等待就把剑刺向阿基米德，阿基米德躺倒在地，喃喃地说：“他们夺走了我的躯体，但我将取走我的灵魂。”说完安然死去。
按照阿基米德的愿望，人们在他的墓碑上刻了一个圆柱体，柱体里面是一个球体——象征着他的骄傲的发现：球的体积是装下该球的最小的圆柱体体积的三分之二。
这个传说有多少是真的呢？阿基米德无疑是位机械天才。有充分证据表明他设计出能将50磅弩石抛出300英尺远的弩石弹射器。但近来对技术史的研究排除了他建造了能从海中吊起敌船的吊车的可能性。这种神话的根据可能是他发明过一种将他自己（不动的）的船吊到岸上来的吊车式的装置。
许多科学巨匠包括加利莱奥。伽利略和法国博物学家布丰伯爵，乔治…路易斯。莱克勒都对阿基米德用镜子焚烧敌船感兴趣，它与儿童用放大镜点燃纸片非常相似。理论上说这种镜子是可以制造的，但它要有一个保持太阳光线聚焦于移动目标上的可变焦距，普通镜子是做不到这一点的。（1747年，布丰声称用一个复杂的镜子使150英尺远的木头着了火，并熔化了140英尺远的铅。）不管怎样，阿基米德不会费力去制造一个特别镜子的，因为那时已经出现了一种简单而高效的燃烧武器：将石脑油与一种同水接触即自动燃烧的化学物质相混合装入罐中，人们把这种罐子掷向敌船。
对阿基米德之死的生动描述可能相当真实，尽管人们会对他所说的话表示怀疑。公元前75年，伟大的罗马演说家西塞罗来到阿基米德的墓旁，发现墓碑上刻有外切一个球的圆柱体。
牛群的问题是怎么回事呢？它真是首先由阿基米德提出来的吗？别管阿基米德是否真是出于一时赌气而凭空想出这个问题的，人们知道他确曾推算过这个问题，因此至少有2，200年的历史了。
这个问题开始是这样的：“啊！朋友，如果你智慧过人，那就专心致志算出那天那群公牛的数目吧。它们曾在西西里岛的大平原上吃草，按毛色它们被分成4组：乳白牛、黑牛、黄牛和花斑牛。每组中的公牛数占大多数，它们之间的关系为：1、白公牛=黄公牛＋（1/2＋1/3）黑公牛2、黑公牛=黄公牛＋（1/4＋1/5）花斑3、花斑公牛=黄公牛＋（1/6＋1/7）白公牛4、白公牛=（1/3＋1/4）黑牛5、黑公牛=（1/4＋1/5）花斑公牛6、花斑公牛=（1/5＋1/6）黄牛7、黄公牛=（1/6＋1/7）白牛该问题继续说：”啊！朋友，如果你能算出每群中公牛和母牛的数目，你还是称不上无所不知或精通数字，也不能被列入智者之列。“于是该问题涉及到其数学的本质部分：解7个带有8个未知数的等式（4组不同颜色的公牛和4组相应颜色的奶牛）。原来，这些等式并不难解。事实上，它们有无限多的答案，而牛群总头数的最小数值为50，389，082，这些牛可以在西西里6，358，400公顷的大平原上自由自在地吃草。
然而，阿基米德并未就此停止。他对公牛数目另外又提出了两项限制条件，从而使这问题变得难多了：8。白公牛＋黑公牛＝一个平方数。
9。花斑公牛＋黄公牛＝一个三角数。
问题最后说：“如果你已算出这群牛的总数，噢！朋友，你俨然就是一个征服者了，不消说，你就是数字科学方面的专家了。”
阿基米德的牛群问题由于采用了三角数和平方数的概念而与华达哥拉斯的工作有关。公元前6世纪，毕达哥拉斯及其追随者用圆点布置成三角、四方或其他几何图形来表示数。如3、6和10这些数被称为三角数，因为它们可由构成三角的圆点来表示：西门从海中拽出的鱼的数目153也是一个三角数。由于同样的原因，像4，9和16这些数被称为平方数，因为它们可以用圆点布置成正方形来表示：不要以为古人为断定某个特定的数是否可以由特定的几何圆点图形表示而耗费长时间去胡写乱画，要知道，解决这一问题存在一种纯数的方法。所有三角数都可由连续的整数（从1开始）相加得出；如 3＝1＋2，6＝1＋2＋3，以及10＝1＋2＋3＋4。所有的平方数都可由整数的平方得出：4＝2×2，9＝3×3，及16＝4×4。由于用三角数和平方数对公牛进行限制，牛问题变得非常棘手，两千年里没有取得真正的进展。1880年，一位德国研究者在经过枯燥计算之后表明：符合所有8项条件的最小的牛头数为一个有206，545位数的数，该数是以776开头的。阿基米德可能是一个有魔力之人，但他决不是个现实主义者：西西里小岛上决不会容下这样一群牛。正如一位数理论家所说：“即使它们是最小的微生物——不，即使它们是电子，一个以从地球到银河的距离为半径的圆也只能包含这种动物的很小一部分。”
但没人认为缺乏现实感会妨碍数学研究。20年后的1899年，伊利诺斯希尔斯伯勒的一位土木工程师和他的几位朋友组成希尔斯伯勒数学俱乐部，致力于发现余下的206，542位数。经过4年运算后，他们最后宣布，他们发现了12位最右边的数，又另外发现了28位最左边的数，但后来证明他们算的数都弄错了。60年后，3位加拿大人运用计算机首次发现了全部的答案，但他们从未予以公开发表。1981年，当出自劳伦斯。利弗莫尔国家实验室的克雷1号巨型计算机的47页硬拷贝缩印在《趣味数学》杂志上时，全部的206，545位数才最终公布于世。
当时，克雷1号是世界上运算最快的计算机。克雷巨型计算机是昂贵的——最新型号值2，000万美元，实验室和公司不会买它来解决古老的数论问题。购买它是用于配制新的药物，勘探石油，破译苏联密码，在好莱坞电影中造成辉煌的特别效果以及模拟太空武器。
然而，人们常常让巨型计算机解决数论史上棘手的计算问题，以便证明它们是否运转正常。计算这种问题的好处是可以轻易地对其答案——即使以前不知道这些答案——进行检验：将它们还原到其等式中去。阿基米德的牛群问题正是在劳伦斯。利弗莫尔实验室检验克雷1号时得以解决的。这台巨型计算机仅用10分钟就发现了206，545位数的答案，并两次检验了这一问题的运算。
让我们以一个阿基米德曾处理过而我们也许能解决的问题来结束本节吧。希伦给金匠一定量的金子（设其重量为W）制造皇冠。当希伦收到那顶皇冠时，他请阿基米德鉴定它是否含有全部的金子，或金匠是否偷走了一些而代之以较廉价的金属。公元前1世纪著名的罗马建筑师维特鲁威是这样记载的：“阿基米德反复琢磨这一问题，一天他偶然来到洗澡间，在那儿，他注意到，当他坐进浴缸里，漫出浴缸的水的数量等于他浸在浴缸中的身体所排出的水量。这一点向他暗示了解决这一问题的方法，于是他立即欣喜地跳出浴缸，光着身子向家奔去，并大声喊着他已发现了他寻找的东西。因为当他跑的时候，他反复大声地用希腊语叫道，我找着啦！我找着啦！”
他找到了什么？阿基米德领悟到：既然金是密度最大的金属，那么，重量为W的纯金皇冠的体积会比同样重量搀假的金皇冠的体积要小些。他让一个容器装满水并投进重量为W的金子。然后他将溢出来的水收集起来，这些水的体积与该金子的体积相等。下一步他让另一个容器装满水，皇冠在监督之下被放入水中。果然，它排出的水体积较大，证明那位卑劣的金匠偷去了希伦国王的金子。
第三章 素数的滥用
原子说——相信事物不可分割——不仅指导着古希腊人研究物质而且指导着他们对数的研究。欧几里得及其同时代人认识到，某些整数如 2，3，5，7及11是根本不能被除尽的。这些只能被它们自身和1整除的数被称为素数。那些不是素数的数——如4，6，8，9，10等等——有另外的除数。这些数被称作合成数（非素数），因为它们每个数都各自由某些素数“合成”。例如，4＝2×2，6＝2×3，8＝2×2×2，9＝3×3，及10＝2×5。 1985年9月，当休斯敦的谢夫隆地球科学公司对被称为克雷X－MP型的新式巨型计算机进行使用检验时，它在以每秒做4亿次运算的速度工作了3个多小时后发现了人（或机器）所知的最大素数。
大约在2300年前，欧几里得就证明存在无限多的素数。但迄今还没有人发现素数的模型或产生素数的有效公式。由于没有模型可参照，发现新的最大已知素数没有任何窍门，这一发现的新闻不仅迅速地传遍了数学界而且传遍了整个世界。美国哥伦比亚广播公司《晚间新闻》节目的主持人瓦尔特。克伦凯特专门在电视上插播了一个素数的轻松故事，而全国公共广播电台仍然有这样一个栏目。
谢夫隆计算机求得的创纪录的素数多达65，050位数。这个有65，050位数的庞大数字是一个梅森数，它等于2的216，091次幂减1，要把这个数全部列出来要占去本书30页纸。“我们只是偶然地运算了足够的数而得出这一新素数的，”谢夫隆的一位副总裁告诉新闻界说，“让该机器开动并进行运转，证明它健全无损是我的职责，其结果是令人感兴趣的……但这些结果肯定无助于发现石油。”
寻找更大的素数并探求其性质与寻求奇数完全数一样都是数论的一部分。数论表面上简单。其主要定理可以表述得人人都可理解，但证明起来——如果是已知的话——却需要艰深而复杂的数学运算。例如1742年，生于普鲁士的数学家克里斯琴。哥德巴赫猜想每个比2大的偶数都是两个素数之和。根据这一分析，4＝2＋2，6＝3＋3，8＝3＋5，10＝5＋5等等。数理论家借助于计算机将1亿以下的所有偶数都分成为两个素数之和，然而他们却没能证明哥德巴赫的简单猜想是普遍正确的。而这并不是因为缺乏尝试之故。过去两个半世纪以来，许多最有才能的数学家都曾思考过这一问题。
在数学的所有分支之中，数论传统上一直是最远离物理现实的。数学其他深奥领域的抽象结果似乎已有效地用于物理、化学和经济之中。而对数论中的多数结果来说却并非如此。如果哥德巴赫猜想明天得以证明，数学家会欣喜异常，而物理学家和化学家将不知道如何应用这一成果——如果它确有应用价值的话。因此，研究素数被认为是最纯的数学，与应用无关的数学。几个世纪前，数论的这种纯性为它赢得了“数学皇后”的美称。
然而在今天，这座宫殿里却出了问题。那最纯的论题——素数正在以国家安全的名义滥用自己。据报道我们政府所用的某些最好的密码是依靠素数创制的。在这些密码中，字母被转换成数字，其根据纯然是数学的：某些计算程序较易创制但极难破译。例如，计算机计算两个100位数的素数的积极其容易。但已知那个200位数的积去恢复那些素数除数却极其困难（当然，除非有人告诉你）。将这一点应用于密码使人茫无头绪。将电文译成电码的人必不能破解密码。将电文译成电码，他只需知道200位数的积。但要破译这段电文他得知道两个素数除数；而只知道其积是远远不够的。
这种密码被称为公钥密码，因为它可以用一种很公开的方式来使用。如果我想收到秘密信件，我只需公布200位数的数字（并对如何用于编密进行解释）即可。然后，任何人只要他愿意就可以给我寄编成密码的信。因为只有我一人知道那两个素数除数，因此也只有我才能轻易地破译那些信件。然而，这种密码系统起作用的惟一原因是数论学家迄今依然不知如何将巨大的合成数化成构成它们的素数。
佐治亚大学著名的素数学家卡尔。波梅兰斯说：“这种密码系统是对无知的利用。由于这种密码，更多的人卷入了对数论的研究。而致力于研究分解因子问题（寻找素数除数）而未获成功的数学家愈多，这种密码就愈可靠。”因此，这种密码系统的成功又以另一种方式仰赖于数论：要确认那相乘的100位数的素数必须运用尖端的数学方法。
既然素数处于密码学的显要位置，我想考察一下关于素数何为已知的，以及何为未知的。很久以前，欧几里得就证明素数是无限多的。他2，300年前的证明依然是数学简明而别致的范例。
欧几里得说，我们假设素数是有限的，那么其中之一——我们称之为P——就会是最大的。现设有一个比P大的数Q，Q等于1加上从1到P所有整数的积。换句话说，Q＝1＋1×2×3……×P。对于Q来说，很明显，从2到P的所有整数都不能整除它；每次除都会得出余数1。如果Q不是素数，它就会被某个比P大的素数整除。相反，如果Q是素数的话，Q本身就是一个比P大的素数。两种可能性都意味着比最大素数还要大的素数的存在。这当然就意味着，“最大的素数”这概念是虚设的。但如果没有这样一个怪数，素数就一定是无限的。
长期以来，数学家们一直梦想着发现一种公