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是这个宇宙必然是有限的。实际上这个理论向我们提供了宇宙的空间文度与宇宙的物质平均密度之间的简单关系。
附 录
一、洛伦兹变换的简单推导
＇补充第11节＇
按照图2所示两坐标系的相对取向，该两坐标系的x轴永远是重合的。在这个情况下我们可以把问题分为几部分，首先只考虑x轴发生的事件。任何一个这样的事件，对于坐标系K是由横坐标x和时间t来表示，对于坐标系K’则由横坐x’和时间t’来表示。当给定x和t时，我们要求出x’和t’。
沿着正x轴前进的一个光信号按照方程
或 ctx=
（1） 0=？ctx
传播。由于同一光信号必须以速度c相对于K’传播，因此相对于坐标系K’的传播将由类似的公式
0=′？′tcx （2）
表示。满足（1）的那些空时点（事件）必须也满足（2），显然这一点是成立的，只要关系
（）（ctxtcx？ ） =′？′λ （3）
一般满足，其中λ表示一个常数；因为，按照（3），（ctx？）等于零时（tcx′？′）就必然也等于零。
如果我们对尚着负x轴传播的光线应用完全相同的考虑，我们就得到条件
（）（ctxtcx＋ ） =′＋′μ （4）
方程（3）和（4）相加（或相减），并为方便起见引入常数a和b代换常数λ和μ，令
2μλ＋=a
以及 2μλ？=b
我们得到方程
？？？？=′？=′bxacttcbctaxx （5）
因此若常数a和b为已知，我们就得到我们的问题的解。a和b可由下述讨论确定。
以于K’的原点我们永远有x’=0，因此按照（5）的第一个方程 tabcx=
如果我们将K’的原点相对于K的运动的速度称为v，我们就有abcv= （6）
同一量值v可以从议程（5）得出，只要我们计算K’的另一点相对于K的速度，或者计算K的一点相对于K’的速度（指向负x轴）。总之，我们可以指定v为两坐标系的相对速度。
还有，相对性原理告诉我们，由K判断的相对于K’保持静止的单位量杆的长度，必须恰好等于由K’判断的相对于K保持静止的单位量杆的长度。为了看一看由K观察x’轴上的诸点是什么样子，我们只需要从K对K’拍个“快照”；这意味着我们必须引入t（K的时间）的一个特别的值，例如t=0，对于这个t的值，我们从（5）的第一个方程就得到
axx=′
因此，如果在K’坐标系中测量，x’轴上两点相隔的距离为1=Δx，该两点在我们的瞬时快照中相隔的距离就是 ax1=Δ （7）
但是如果从K’（t’=0）拍取快照，而且如果我们从方程（5）消去t考虑到表示式（6），我们得到
xcvax？？
？
？？？？？？=′221
由此我们推断，在x轴上相隔距离1（相对于K）的两点，在我们的快照上将由距离 ？？？？？？？？？=′Δ221cvax （7a）
表示。
但是根据以上所述，这两个快照必须是全等的；因此（7）中的必须等于（7a）中的，这样我们就得到 xΔx′Δ
22211cv？=a （7b）
方程（6）和（7b）决定常数a和b。在（5）中代入这两个常数的值，我们得到第11节所提出的第一个和第四个议程：
？？？？？？？？？？？？？=′？？=′2222211cvxcvttcvvtxx （8）
这样我们就得到了对于在x轴上的洛伦兹变换。它满足条件
222222tcxtcx？=′？′ （8a）
再把这个结果加以推广，以便将发生在x轴外面的事件也包括进去。此项推广只要保留方程（8）并补充以关系式
（9） ？？？=′=′zzyy
就能得到。
这样，无论对于坐标系K或是对于坐标系K’，我们都满足了任意方向的光线在真空中速度不变的公设。这一点可以证明如下。
设在时间t=0时从K的原点发出一个光信号。这个光信号将按照议程
ctzyx=＋＋=222r
传播，或者，如果方程两边取平方，按照方程
022222=？＋＋tczyx （10）
传播。
光的传播定律结合着相对性公设要求所考虑的信号（从K’去判断）应用按
照对应的公式
或 r tc′=′
022222=′？′＋′＋′tczyx （10a）
传播为了使方程（10a）可以从方程（10）推出，我们必须有
（）2222222222tczyxatczyx？＋＋=′？′＋′＋′ （11）
由于方程（8a）对于x轴上的点必须成立，因此我们有1=σ，不难看出，对于1=σ，洛伦兹变换确实满足（11）；因为（11）可以由（8a）和（9）推出，因而也可以由（8）和（9）推出。这样我们就导出了洛伦兹变换。
由（8）和（9）表示的洛伦兹变换仍需加以推广。显然，在选择K’的轴时是否要使之与K的轴在空间中相互平行是无关重要的。同时，K’相对于K的平动速度是否沿x轴的方向也是无关紧要的。通过简单的考虑可以证明，我们能够通过两种变换建立这种广义的洛伦兹变换，这两种变换就是狭义的洛伦兹变换和纯粹的空间变换，纯粹的空间变换相当于用一个坐标轴指向其他方向的新的直角坐标系代换原有的直角坐标系。
我们可以用数学方法，对推广了的洛伦庇变换的特性作如下的描述：
推文了的洛伦兹变换就是用x；y；z；t的线性齐次函数来表示x’；y’；z’；t’；而这种线性齐次函数的性质又必须能使关系式
2222222222tczyxtczyx？＋＋=′？′＋′＋′ （11a）
恒等地被满足。也就是说：如果我们用这些x；y；z；t的线性齐次函数来代换在（11a）左连所列的x’；y’；z’；t’；则（11a）的左边与其右边完全一致。
二、闵可夫斯基四维空间（“世界”）
＇补充第17节＇
如果我们引用虚量1？ct？代替t作为时间变量，我们就能够更加简单地表述洛伦兹变换的特性。据此，如果我们引入
ctxzxyxxx？？14321
对带撇号的坐标系K’也采取同样的方式，那么为洛伦兹变换公式所恒等地满足的必要条件可以表示为：
（12） 2423222124232221xxxxxxxx＋＋＋=′＋′＋′＋′
亦即通过上述“坐标”的选用，（11a）就变换为这个方程。
我们从（12）看到，虚值时间坐标x4与空间坐标x1；x2；x3；是以完全相同的方式进入这个变换条件中的。正是由于这个事实，所以按照相对论来说，“时间” x4应与空间坐标x1；x2；x3；以同等形式进入自然定律中去。
用“坐标” x1；x2；x3；x4描述的四给连续区，谅可夫斯基称之为“世界”，他并且把代表某一事件的点称作“世界点”。这样，三维空间中发生的“事件”按照物理学的说法就成为四维“世界”的一个“存在”。
这个四维“世界”与（欧几里得）解析几何学的三维“空间”很近似。如果我们在这个“空间”引入一个具有同一原点的新的笛卡儿坐标系（x’1；x’2；x’3）那么x’1；x’2；x’3就是x1；x2；x3的线性齐次函数，并且恒等地满足方程
232221232221xxxxxx＋＋=′＋′＋′
这个议程与（12）完全类似。我们可以在形式上把闵可夫斯基“世界”看作（具有虚恰时间坐标的）四维欧几里得空间；洛伦兹变换相当于坐标系在四维“世界”中的“转动”。
三、广义相对论的实验证实
从系统的理论观点来看，我们可以设想经验科学的进化过程是一个连续的归纳过程，理论发展起来并以经验定律的形式简洁地综合概括了大量的个别观察的结果，再从这些经验定律，通过比较推敲，确定普遍定律。根据这种看法，科学的发展有些象编纂分类目录。这好象是一种纯粹经验性的工作。
但是这种观点绝不能概括整个实际过程；因为这种观点忽视了在严正科学（严格正确的科学，特别指数学一类的科学，——译者注）的发展过程中直观和
演绎思考所起的重要作用。一门科学一经走出它的初始阶段，理论的发展就不再仅仅依靠一个排列的过程来实现而是研究人员受到经验数据的启发而建立起一个思想体系；一般来说，这个思想体系在逻辑上是用少数的基本假定，即所谓公理，建立起来的。我们将这样的思想体系称力理论。理论有存在的必要的理由乃在于它能把大量的个别观察联系起来，而理论的“真实性”也正在于此。
与同一个经验数据的复合相对应的可能会有好几个彼此颇不相同的理论。但就从这些理论得出的、能够加以检验的推论而言，这几种理沦可能是十分一致的，以致难以发现两种理论有任何不一致的推论。例如，在生物学领域中有一个普遍感到兴趣的例子，即一方面有达尔文关于构种通过生存竞争的选择而发展的理论，另一方面有以后天取得的特性可以遗传的假设为基础的物种发展理论。
我们还有另一个例子说明两种理论的推论是颇为一致的，这两种理论就是牛顿力学和广义相对论。这两种理论是这样的一致，以致从广义相对十导出的能够加以检验的推论而力相对论创立前的物理学所未能导出的，到目前为止我们只能找到少数几个，尽管这两种理论的基本假定有着深刻的差别。下面我们将再一次讨论这几个重要的推沦。还要讨论迄今已经得到的关于这些推论的经验证据。
（1）水星近日点的运动
按照牛顿力学和牛顿的引力定律，绕太阳运行的行星围绕大阳（或者说得更正确些，围绕太阳和这个行星的共同重心）描画一个椭圆。在这样的体系中，太阳或者共同重心位于轨道椭圆的一个焦点上，因而在二个行星年的过程中，太阳和行星之间的距离由极小增为极大；随后，减至极小。如果我们在计算中不应用牛顿定律，而引进二个稍有不同的引力定律，我们就会发现，按照这个新的定律，在行星运动的过程中。太阳和行星之间的距离仍表现出周期性的变化；但在这个情况下，太阳和行星的连线（向径）在这样的一个周期中（从近日点一离太阳最近的点一到近日点）所扫过的角将不是360度”。因而轨道曲线将不是一个闭合曲线，随着时间的推移轨道曲线将充满轨道平面的一个环形部分，亦即分别以太阳和行星之间的最大距离和最小距离为半径的两个圆之间的环形部分。
按照广义相对论（广义相对论当然与牛顿的理论不同），行星在其轨道上的运动应与牛顿一开普勒定律有微小的出入，即从一个近日点走到下一个近日点期
间，太阳一行星向径所扫过的角度比对应于公转整一周的角度要大，这个差的值由
（）22223124ecTa？π＋
决定。
（注意：公转整一周对应子物理学中惯用的角的绝对量度中的2π角；从一个近日点到下一个近日点期间，太阳一行星向径所扫过的角大于2π角，上式表出的量值就是这个差。）在此式中，a表示椭圆的半长轴，e是椭圆的偏心率，c是光速，T是行星公转周期。我们的结果也可以表达如下：按照广义相对论，椭圆的长轴绕太阳旋转，旋转的方向与行星的轨直运动方向相同。按照理论的要求，这个转动对于水星而言应达到每世纪43”（角度），但是对于我们的太阳系的其他行星而言，这个转动的量值应该是很小的，是必然观测不到的。（特别是由于下一颗行星——金星——的轨道几乎正好是一个圆，这样就更加难于精确地确定近日点的位置）
事实上天文学家已经发现，按照牛顿的理论计算所观测的水星运动时所达到的精确度是不能满足现时能够达到的观测灵敏度的。在计入其余行星对水星的全部摄动影响以后，发现（勒韦里耶于1859年，牛柯姆＇Newb＇于1895年）仍然遗留下一个无法解释的水星轨道近日点的移动问题，此种移动的量值与上述的每世纪＋43”（角度）并无显著的差别。此项经验结果的测不准范围只达到几秒。
（2）光线在引力场中的偏转
在第22节已经提到，按照广义相对论，一道光线穿过引力场时其路程发生弯曲，此种变曲情况与抛射一物体通过引力场时其路发生弯曲相似。根据这个理论，我们应该预期一道光线经过一个天体的近傍时将发生趋向该天体的偏转。对于经过距离太阳中心△个太阳半径处的一道光线而言，偏转角（a）应等于 Δ′′=7。1α
可以补充一句，按照理论，这个偏转的一半是由于太阳的牛顿引力场造成的；另一半是太阳导导致的空间几何形变（“变曲”）造成的。
这个结果可以在日全食时对恒星照象从实验上进行检验。我们之所以必须等
待日全食的唯一原因是由于在所有其他的时间里大气受阳光强烈照射以致看不见位于太阳圆面附近的恒星。所预言的疚可以清楚地从图5中看到。如果没有太阳（S），一颗实际上可以视为位于无限远的恒星，由地球上观测，将在方向D1看到。但是由于来自恒星的光经过太阳时发生偏转，这颗恒星D2看到，亦即这颗恒星的视位置比它的真位置离太阳的中心更远一些。
在实践中检验这个问题是按照下述方法进行的。在日食时对太阳附近的恒星拍照。此外，当太阳位于天空的其他位置时，亦即在早几个月或晚几个月时，对这些恒星拍摄另一张照片。与标准照片比较，日食照片上恒星的位置应沿径向外移（离开太阳的中心），外移的量值对应于角a。
英国皇家学会和皇家天文学会对这个重要的推论进行了审查，我们深为感激。这两个学会没有被战争和战争所引起的物质上和精神上的种种困难所挫折，他们装备了两个远征观测队——一个到巴西的索布拉尔（Sobral），一个到西非的比林西卑岛（principe）——并派出了英国的几位最著名的天文学家＇艾丁顿、柯庭汉（cottingham）、克罗姆林（crommelin）、戴维逊（Davidson）＇，拍摄了1919年5月29日的日食照片。预料到在日食期间拍摄的恒星照片与其他用作比较的照片之间的相对差异只有一毫米的百分之几。因此，为拍报照片所需的照片之间的相对差异只有一毫米的百分之几。因此，为拍摄照片所需的调准工作以及随后对这些照片的量度都需要有很高的准确度。
测量的结果十分圆满地证实了这个理论。观测所得和计算所得的恒星位置偏差（以秒计算）的直角分量有如下表所列：
第一坐标
第二坐标
恒星号码
观测值
计算值
观测值
计算值
11
5
4
3
6
10
2
…0。19
＋0。29
＋0。11
＋0。20
＋0。10
…0。08
＋0。95
…0。22
＋0。31
＋0。10
＋0。12
＋0。04
＋0。09
＋0。85
＋0。16
…0。46
＋0。83
＋1。00
＋0。57
＋0。35
…0。27
＋0。02
…0。43
＋0。74
＋0。87
＋0。40
＋0。32
…0。09
（3）光谱线的红向移动
在第23节中曾经表明，在一个相对于伽利略系K而转动的K’系中，构造完全一样而且被认定为相对于转动的参考物体保持静止的钟，其走动的时率与其所在的位置有关。现在我们将要定量地研究这个相倚关系。放置于距圆盘中心r处的一个钟有一个相对于K的速度，这个速度由
rvω=
决定，其中ω表示圆盘K’ 相对于K的转动角速度。设v0表示这个钟相对于K保持静止时，在单位时间内相对于K的滴嗒次数（这个钟的“时率”），那么当这个钟相对于K以速度v运动、但相对于圆盘保持静止时，这个钟的“时率”，按照第12节，将由
2201cv？vv=
决定，或者以足够的准确度由
？？？？？？？？？？=220211cvvv
决定。此式也可以写成下述形式：
？？？？？？？？？？=2112220rcvvω
如果我们以φ表示钟所在的位置和圆盘中心之间的离心力势差，亦即将单位质量从转动的圆盘上钟所在的位置移动到圆盘中心为克服离心力所需要作的功（取负值），那么我们就有
222rωφ？=
由此得出
？？？？？？＋=201cvφv
首先我们从此式看到，两个构造完全一样的钟，如果它们的位置与圆盘中心的距离不一样，那么它们走动的时率也不一样。由一个随着圆盘转动的观察者来看，这个结果也是有效的。
现在从圆盘上去判断，圆盘系处在一个引力场中，而引力场的势为φ，因此，
我们所得到的结果对于引力场是十分普遍地成立的。还有，我们可以将发出光谱线的一个原子当作一个钟，这样下述陈述即得以成立：
一个原子吸收的或发出的光的频率与该原子所处在的引力场的势有关。
位于一个天体表面上的原子的频率与处于自由空间中的（或位于一个比较小的天体的表面上的）同一元素的原子的频率�