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国的首都时，都引用此书关于陀历国的记载。在页298—299 讲到佛教在印度衰微时，引用此书关于摩头罗国的记载：“有遥捕那河，河边左右有二十僧伽蓝，可有三千僧，佛法转盛。”他又引用玄奘《大唐西域记》，卷四关于秣菟罗国的记载：“伽蓝二十余所，僧徒二千余人。”同一个地方，相隔几百年之后，伽蓝的数目没有变，僧人却减少了一千人，衰微的情况清晰可见。这样的例子，著者还举了一些。从上面几个简略的例子里可以看出，《法显传》对研究印度中世纪佛教，有多么重要的意义。
我还想再举两个例子。一个是印度当代著名的史学家R。S。Sharma 的《古代印度的首陀罗》（Sudras in Ancient India，Motilal Banarsidass，1958）这是一部颇为著名的书，得到印度国内外学者们的广泛赞誉。在本书第七章讲农民阶级与宗教权利时，著者在四处引用了《法显传》，都是上面高善必引用的那一段。页286，引用“不食葱蒜，唯除旃荼罗”，页290—291，引用“旃荼罗潜入城市，则击木自异，人则识而避之，不相唐突”。第二个例子是Bardwell L。 Smith Essays on Gupta Culture（《笈多文化论集》MotilalBanar…sidass，1983）。这是一部论文集，著者不是一个人，讨论的题目也不尽相同。其中有几篇文章引用了《法显传》。页7，A。L。Basham 在序言中讲到旃荼罗入城市击木自异的情况。页38，A。K。Narain 在《古代印度特别是笈多时期的宗教政策和宽容》这一篇论文中，引用了《法显传》来说明当时佛教兴隆的情况。页130、132、133 等，B。G。Gokhale 在《笈多时期的佛教》这一篇论文中，引用了《法显传》来说明月护王（376—414）时期的印度佛教状况，特别是佛教寺院中研究经、律、论的情形。
除了以上四本书以外，引用《法显传》的书籍还多得很，这里无法一一列举了。
我在上面先介绍了晋宋时期中国佛教发展的情况，然后介绍了法显的生平和他对中国和世界的影响。总起来可以这样说，法显活动的两晋南北朝时期是中国佛教发展和中印文化交流的高峰时期之一。他留下的佛典译文，特别是他的《法显传》，到现在仍然保留着自己的活力，起着相当大的影响。他对促进中印两国的文化交流和人民的传统友谊，也有不可磨灭的功绩。《法显传·跋》中有几句话：“于是感叹斯人，以为古今罕有。自大教东流，未有忘身求法如显之比。”法显是当之无愧的。中国人民永远不会忘掉他，印度人民也不会忘掉他。
第二十三章数学秦汉时期《九章算术》的出现，是中国古代数学体系初步形成的标志。
在此基础上，三国两晋南北朝时期的数学研究和数学教育又有了显著的发展。在这一时期撰写的数学书不下数十种，仅《隋书·经籍志》所载就有二十余种。其中如赵爽《周髀算经注》，刘徽《九章算术注》和《海岛算经》，《孙子算经》，《张丘建算经》，甄鸾《五曹算经》、《五经算术》和《数术记遗》等，都是重要的数学典籍，后被收入有名的“算经十书”而一直流传至今。南北朝时祖冲之所著《缀术》，是一部内容丰富的数学专著，可惜已经失传。这些数学著作记载了这一时期数学家在勾股算术、重差术、割圆术、圆周率、球体积公式、线性方程组解法、二次和三次方程解法、同余式和不定方程解法等方面所取得的新成果，充实和发展了以《九章算术》为代表的中国古代数学体系。特别应该提到的是，刘徽在魏陈留王景元四年（263）作《九章算术注》。他在注释中对于《九章算术》的大部分数学方法作出了相当严密的论证，对于一些概念给出了明确的解释，从而为中国古代数学奠定了坚实的理论基础。他所提出的许多新的思想、方法、原理和获得的新成果，对后世数学发展产生了积极的和深远的影响。祖冲之是刘徽以后又一位杰出的数学家。他的圆周率值，是举世公认的重大数学成就，在数学史上占有突出的地位。三国两晋南北朝时期形成了中国古代数学发展过程中继两汉之后的又一个高潮。
第一节勾股定理和重差术勾股定理是中国古代几何学中一个最基本的定理。在中国古代，勾股定理的一般形式a2＋b2=c2（a、b、c 表示直角三角形的三边），最早见于《周髀算经》。《九章算术》则进一步给出计算勾股数的一组公式：a b c m n mn m n ∶ ∶ ∶ ∶ = … ＋1 21 22 2 2 2 （ ） （ ）其中m∶n=（c＋a）∶b ，这是整数论的重要成果。但是，这两部书的共同缺欠是仅有公式而没有证明。据现有记载，首先对有关勾股问题给出证明的是三国时孙吴数学家赵爽。赵爽，字君卿，约生活于公元3 世纪初，生平不详。曾为《周髀算经》撰序作注，对于书中阐述的盖天学说和四分历法作了较详尽的注释。赵爽《周髀算经注》中有一篇《勾股圆方图注》，全文五百余字并附有六幅插图（原图已失传，现传本《周髀》中的图是后人所补）。这篇注文简练地总结了东汉时期勾股算术的重要成就，给出并证明了有关勾股形三边及其和、差关系的二十多个命题。他的证明主要依据几何图形面积的换算关系，例如利用弦图证明公式c2=2ab＋（b…a）2，利用面积换算证明由勾弦差（c…a）与股弦差（c…b）求勾、股、弦的公式等。刘徽在《九章算术注》中更明确地提出“出入相补，各从其类”的出入相补原理。这个原理的内容是几何图形经分合移补所拼凑成的新图形，其面积（或体积）不变。刘徽根据出入相补原理证明了勾股定理，改进了勾股数的计算公式，并将其广泛应用于解决勾股容方、勾股容圆和立体体积等各种几何问题。这种简明直观具有独特风格的几何证明方法，与古希腊欧几里得几何学思想是根本不同的。
勾股测量是勾股定理的一项重要实际应用。《九章算术》中的例题表明，勾股测量是解决一些简单测量问题的有效手段。这种测量方法起源很早，传说大禹治水的时候就已经采用了。在《周髀算经》和张衡《灵宪》中也都有所论述。《周髀算经》里记载的陈子测日法，通过两次测量结果进行推算，发展了勾股测量方法。这实质上就是东汉时期的天文学家和数学家所创立的重差术。把重差术用于测算太阳的高度和距离，当然不可能得到正确的结果。但是，如果用于测量和推算远处目标的高度、深度、宽度和距离，无疑是一种有效的方法。赵爽在《周髀算经注》的《日高图注》中，利用几何图形面积的关系，给出了重差术的证明。刘徽在《海岛算经》中通过九个实例，对于重差术作了系统的总结，并且提出根据三次和四次测量结果的推算公式，用以解决复杂的测量问题。重差术是当时世界上最先进的用于测量的数学方法。中国古代绘制地图的工作取得了卓越的成就，长沙马王堆出土的西汉初期帛画地图，其精确程度就已令人叹服，后来又有所进步，这与测量数学有较高水平是分不开的。
第二节割圆术和圆周率中国在两汉之前，一般采用的圆周率是“周三径一”，即π=3。这个数值与文化发达较早的其他国家所用的圆周率相同。但是，这个数值误差很大，后来的数学家不断努力去探求更精确的结果。据公元1 世纪初制造的新莽嘉量斛（一种圆柱形标准量器）推算，其圆周率值应是。世纪初，东汉天文学家张衡分别取用π 3。1547 2 =730232≈ 和π ≈ 。三国时东吴王蕃取π＝ ≈ 3。1466 = 3。16221424510 31556 。 。其中最突出的是魏晋之际的杰出数学家刘徽。刘徽生活在魏晋时期，生平不详，曾作《九章算术注》九卷，另撰《重差》一卷附于《九章》之后，两者并为十卷。唐初以后《重差》另本单行，被称为《海岛算经》。此外，他还撰有《九章重差图》一卷，已失传。刘徽是中国传统数学理论的奠基者和代表人物，他的主要贡献之一是在《九章算术注》中创造了“割圆术”，为圆周率研究工作奠定了理论基础和提供了科学的算法。刘徽割圆术的基本思想是用圆内接正多边形的周长和面积逼近圆周长和圆面积。逼近的最终结果，正如他所指出的“割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”①，即极限情形是两者完全重合。刘徽从圆内接正六边形算起，一直到求出圆内接正96 边形边长和正192 边形的面积得到π 继续求出圆内接正边形的面积得到π ； ； ； =15750= 3。14 3072 =39271250=3。1416。这两个结果是比较好的，现在还经常使用，其计算程序也比古希腊数学家阿基米德的类似方法简便得多。继刘徽之后，南北朝时祖冲之把圆周率推算到更加精确的程度。祖冲之是我国历史上最杰出的数学家、天文学家和机械发明家，本编别有传。祖冲之著有《缀术》、《九章算术注》、《大明历》、《驳戴法兴奏章》、《安边论》、《易老庄义》、《论语孝经释》、《述异记》等，《隋书·经籍志》还载有《长水校尉祖冲之集》51 卷，但大部分已失传。他的数学专著《缀术》，唐代收入《十部算经》，立于学官，要学习四年，并曾传到朝鲜、日本，但也已失传。关于圆周率问题，据《隋书·律历志》记载，祖冲之求出π的不足近似值3。1415926 和过剩近似值3。1415927，并确定π的真值在这两个近似值之间，即3。1415926＜π＜3。1415927，精确到小数七位。这是当时世界上最先进的成果，直到约一千年后才为15 世纪中亚数学家阿尔·卡西和16 世纪法国数学家韦达所超过。至于他得到这两个数值的方法，一般认为是基于刘徽割圆术。祖冲之还确定了π的两个分数形式的近似值：约率π ≈ ， =2273。14密率π ≈ 。这两个值都是π的渐近分数。其中约率=3551133。1415929227早已为阿基米德和何承天所知，密率则是祖冲之首创。密率355113355113是如何得到的，有调日法术，连分数法，解同余式或不定方程，割圆术等多① 《九章算术》方田章圆田术刘徽注，见钱宝琮校点本《算经十书》（上册），中华书局，1963 年版。种推测，迄今尚无定论。在欧洲，π 是世纪由德国数学家奥=35511316托和荷兰工程师安托尼兹分别得到的，并通称为“安托尼兹率”。但这已是祖冲之以后一千多年的事情了。为了纪念祖冲之在科学上的贡献，人们建议把密率称为“祖率”，紫金山天文台已把该台355113发现的一颗小行星命名为“祖冲之星”，莫斯科大学里刻有祖冲之的雕像，在月球背面也已有了以祖冲之的名字命名的环形山。
第三节球体积公式球体积的计算是个相当复杂的问题。在《九章算术》中，球的体积公式相当于（ 是球的直径）。这是一个近似公式，误差很大。张衡曾V =916d d 3经研究了这个问题，但没有得到更好的结果。刘徽发现了《九章算术》少广章所说的球与其外切圆柱的体积之比为π∶4 的结论是错误的，并正确指出球与“牟合方盖”（两个底半径相同的圆柱垂直相交，其公共部分称为“牟合方盖”）的体积之比才是π∶4，把对于球体积问题的研究推进了一大步，但他没有能够解决牟合方盖体积的计算问题。二百年后，祖冲之和他的儿子祖暅才在这个问题上取得了突破。祖暅，字景烁，曾任梁朝员外散骑侍郎、太府卿、南康太守、材官将军、奉朝请等，也是南北朝时期著名的数学家和天文学家，著有《漏刻经》一卷，《天文录》三十卷等，均已失传。有的文献记载说《缀术》也是他所著，说他还曾参加阮孝绪编著《七录》的工作。祖冲之父子推算出牟合方盖的体积等于，从而得到正确的球体积公式2 33 dV =1 6d = 3 π ，彻底解决了球体积的计算问题。由于当时用圆周率π ，227因此他们的球体积公式为。祖氏父子在推导牟合方盖体积公式的V =11213 d过程中，提出了“幂势既同，则积不容异”（即二立体如果在等高处截面的面积相等，则它们的体积也必定相等）的原理。现在一般把这个原理称为“祖暅原理”。在西方，17 世纪意大利数学家卡瓦列里重新提出这个原理，即被称为“卡瓦列里公理”，这个原理成为后来创立微积分学的重要的一步。第四节同余式和不定方程在三国两晋南北朝时期的数学著作中，《孙子算经》卷下的“物不知数问题”和《张丘建算经》卷下的“百鸡问题”，是世界著名的数学问题。《孙子算经》三卷，作者不详，约成书于公元400 年前后，《张丘建算经》三卷，作者张丘建，清河（今河北清河）人，生平不详，约成书于公元466 至485年之间。这两部著作都被收入唐代《十部算经》，立于学官，并流传至今。“物不知数问题”亦称“孙子问题”，大意是：有物不知其数，三个一数余二，五个一数余三，七个一数余二，问该物总数共有多少？这个问题应该求解一次同余组：N=2（mod3）=3（mod5）=2（mod 7），答案是N＝70×2＋21×3＋15×2…2×105=23。后来，孙子问题成为广泛流传的一种数学游戏，被称为“韩信点兵”等，并且还编有一首“孙子歌”：“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知”，这首歌诀暗示出问题的解法。但这不是同余式的一般解法。“孙子问题”与古代历法中推算上元积年有关，南宋数学家秦九韶创造“大衍求一术”，完满地解决了这一问题。他所得到的一次同余组解法公式，现被称为“孙子剩余定理”。
“百鸡问题”的大意是：公鸡1 只，值钱5 文；母鸡1 只值钱3 文；小鸡3 只，值钱1 文。今有100 文钱买鸡100 只，问可买公鸡、母鸡和小鸡各多少只？此题有三个未知数，仅能列出两个方程，属于不定方程问题。《张丘建算经》给出三组答案，并有一段说明文字。但是由于其中没有具体解法，因而引起种种猜测。对于中国古代如何解不定方程，至今众说纷坛，尚无定论，不定方程问题最早见于《九章算术》方程章的“五家共井”题，但术文简略，暗含限制条件，没有一般解法。北周甄鸾《数术记遗》也收录了百鸡问题，但数据与《张丘建算经》有所不同。该题应有两组答案，但他仅给出一组，并说明这类问题“不用算筹，宜以心计”，即采用试算的办法去解决。南宋杨辉《续古摘奇算法》引述了《辩古根源》（已失传）中的“百桔问题”，该题应有四组答案，书中仅列出一种，是不完全的。直到19 世纪，清代数学家才把这种类型的问题和求一术（一次同余组问题）联系起来，获得了比较完善的解法。晚于《九章算术》时代的公元3 世纪古希腊数学家丢番图，对不定方程问题进行了深入的研究，取得了非常出色的成果。15 世纪中亚数学家阿尔·卡西的“百禽问题”，与“张丘建算经”的“百鸡问题”非常类似，很有可能受到中国数学的影响。
第五节解线性方程组和解二次、三次方程《九章算术》方程章方程术，是关于线性方程组解法的重要成就。这种方法是用直除法消元，直到每行只剩下一个未知数，即可求得方程的解。但是这种方法比较繁琐，刘徽认为“举率以相减，不害余数之课”①，于是创立新术，采取相应各行系数互乘后再消元的方法。刘徽的互乘相消法已和现在所用的线性方程组解法基本上一致。
在中国古代，把开各次方和解二次以上的方程，统称为“开方”。《九章算术》中已经给出了完整的开平方法和开立方法，而正系数二次和三次方程的解法，就是在开平方和开立方法的基础上自然引伸出来的。魏晋南北朝时期，解二次和三次方程又有了新的进展。如赵爽在《勾股圆方图注》中推导出（其中＞ ， ＞ ）的求根公式＝ － 。… x ＋ ax = A a 0 A 0 x a … a 4A 2 2 12（ ）《隋书·律历志》在叙述祖冲之圆周率后，又说“又设开差幂，开差立，兼以正负参之，指要精密，算氏之最者也”②，据考证，这可能是指开带从平方和开带从立方法，即解一般二次方程和三次方程，也就是容许方程中有负数项。在当时，解决这类问题是比较困难的，所以说“指要精密，算氏之最者也”。
① 《九章算术》方程章，见钱宝琮校点本《算经十书》（上册），中华书局，1963 年版。② 据钱宝琮主编《中国数学史》第89—90 页，科学出版社1964 年版。
第六节实用算术和其他成就在三国两晋南北朝时期的数学著作中，还讲述了一些切合当时民生日用并且解题方法浅近易晓的实用算术知识。如《孙子算经》系统记载了算筹记数制度，筹算乘除法则和度量衡的单位名称及进制。甄鸾字叔遵，无极�