按键盘上方向键 ← 或 → 可快速上下翻页，按键盘上的 Enter 键可回到本书目录页，按键盘上方向键 ↑ 可回到本页顶部！
————未阅读完？加入书签已便下次继续阅读！
以下各类方程共96 个，逐一考察其“知不知”。这里的“知”与“不知”，
与第一册算书一脉相承，即指方程是否仅有一个正根。汪莱所使用的术语，
则沿用《数理精蕴》所介绍的“借根方法”，例如，他称：“有几真数，
多几根积，与几二乘方积相等。。可知”，即是说方程
ax 3 …cx …d = 0
仅有一个正根；又称：“有几真数，多几二乘方积，与几根积相等。。不
可知”，即是说方程
ax 3 …cx ＋ d = 0 不是仅有一个正根。这一工作后来启发了李锐对方程论的兴趣，汪、李二人在方程论领域的讨论极大地丰富了清代代数学研究的内容。在第五册算书中，汪莱还就三次方程
3
…＋ d = 0
讨论了根与系数的关系。他指出（ax） ，该方（cx） 程如果有三个正根x1，x2 和X3，则
bc
x ＋ x ＋ x = ，xx ＋ xx ＋ xx = ，
123 122313
aa
xx x = da
，
12 3
这是F。韦达（Viéte）定理的一个特例。在《衡斋算学》第七册中，汪莱
进一步钻研代数方程论，他首先指出：如果高次方程可以分解成若干个一
次方程，那么这些一次方程的正根就是原方程的正根。其次，他又专门讨
论三项方程
xm=pxn＋q=0（m＞n 且均为正整数；p；q 为正数）
存在正根的充分条件，他在书中列举了18 个例子，由中可总结出上述
方程有正根的条件为
q
m n
m
np
m
n
￡ m n
… （ ） …
（ ）
r · 。
《衡斋算学》第三、六册，分别讨论“有全弧通弦求五分之一弧通弦”
和“有全弧通弦求三分之一弧通弦”，即已知半径和弦长，求该弦所对应
弧的部分之弦长问题。设以r，a 分别表示半径、弦长，a5 和a3 则分别表
示“五分之一弧通弦”和“三分之一弧通弦”，汪莱证得
1
5 5
3 4 5
5
3
2 3
3 3
2 a
a
r
a
a
r
a a
a
r
= ＋ … 和 = … ，
当时汪莱尚未见到明安图的《割圆密率捷法》，因此矜为创获；及至
见到明氏遗稿抄本，遂有悔少作之意。但汪莱所使用的几何方法，实为董
方立《割圆连比例图解》、项名达《象数一原》等书推求分弧通弦与全弧
通弦关系之工作的前驱。
《衡斋算学》第四册之后半部分名为“递兼数理”；“递兼”就是组
合。中国古代数学中虽然不乏组合学的思想和材料，但是明确提出类似于
今日的组合之定义并对组合性质予以讨论的则是汪莱的这篇“递兼数理”。
他在开篇堂而皇之地宣称：“递兼之数，古所未发，今定推求之则。”他
所推求的重要组合公式有：
c
c c
c
m
n m n
m i
n
i
m
m n
m m
n
m n
= …
=
=
…
=
…
。 2 1
1
，
，
！
！ ！
，
（ ）
在论证最后一个公式时，汪莱借用了传统的垛积知识，试以Cm为例，
2
他说：“以一物为主而兼它物得若干数，至以又一物为主而兼它物即不复
兼先为主之物，故所得必少一数，由此递少遂成三角堆形。”就是说：从
m 个元素中每次取2 个的组合数，可以看作先确定1 个元素后将其与其余
元素相配，得组合数为（m…1）；再取第二个元素与不包括第一个元素的其
余元素相配，得组合数（m…o—12）；依此类推，组合数每次递少一数，
故得组合总数为，这就是一个（平）三角堆，即公差为的一阶等差级
数，其和为（ ）。同理， ， ，。， 则分别对应一个
i
i
m
=
…。1 1
1
2
1
m m… …1 C C C m 3
m 4
m n
二乘、三乘、。、（n…1）乘三角堆。一般三角堆的公式，早已为朱世杰所
知；汪莱虽然没有读到未氏的《四元玉鉴》，他在“递兼数理”中也给出
了“三角堆求积通法”，从而建立起了“递兼”与“垛积”这两类组合问
题之间的联系。
汪莱青年时代所著的“叁两算径”，则是中国数学史上第一次系统探
讨非十整进制算术的论文。内中列出了二至九进制的乘法表，以九进制为
例，其相应的乘法口诀为：“八二一七、八三二六、八四三五、八五四四、
八六五三、八七六二、八八七—。。”，即8×2=17，8×3=26，8×4=35，8×5=44，8×6=53，8×7=62，8×8=71，。。关于二至九进制的除法，汪
莱仅关心其商是整数或有限小数的情况，他称之为“法数合乃宜”；例如，
对于九进制，满足上述条件的“法”仅有一个3，相应
的除法为：13
= 0。3 ， 23
= 0。6 ，
33
=1 ，其余任何数为“法”来除九进制的
数，都不可能得到整数或有限小数的商。在该文的最后，汪莱还指出了非
十整进制算术并非向壁虚构的事物，他举例说：“造律者，因欲三分损益
为法，故立数于九。近代窥天者，因以日十二时为法，故立天数三百六十
度。”
《衡斋遗书》中还有许多有关数学的论著。“覆载通几”主要是阐释
第谷体系的行星及日月运动规律的天文学著作，但其中诸图都赖几何定理
加以说明，附录“四边形算法”则是汪莱对梅文鼎《三角法举要》（即《平
三角举要》）的增补之作。“考定磬氏倨勾令鼓旁线中悬而悬居线右解”，
系汪莱与同乡学者程瑶田讨论磬折重心位置的一篇论文，文中运用了杠杆
原理。“校正九章算术及戴氏订讹”对《九章算术》及戴震所作的校勘提
出了若干条意见，其中许多见解与李潢的《九章算术细草图说》不谋而合。
《衡斋文集》中还收有汪莱为张敦仁《缉古算径细草》及焦循《加减乘除
释》两书所写的序。其余如关于音律的“乐律逢源”，关于经解的“千乘
之国解”、“书尧典敬致解”，关于记赞天文仪器的“一方仪铭”、“多
漏铭”，关于音韵学的“三声论”、“七音论”，也都具有较高的学术价
值。
汪莱才高志大，因此行为举止颇近狂放，这在青年时代表现尤为突出。
他的挚友江玉自号近迂子，汪莱赠诗称他：“才过八斗何卓荣，胸罗五车
犹下学。著书非孔复非庄，行己不清亦不浊。我亦乡闾肆志人，感子车裘
义非薄。。。兴来大叫鬼神惊，各陈悲壮泪纵横。仲尼尘埃子渊夭，茫茫
大道将奚寻？且于风潇雨晦常相忆，看取高山石上青松质。”从中也可看
出汪莱自己的志向与情趣。他在30 岁那年赴乡试不第，自云“抱璞而泣”。
其得意门生夏■描述他的外貌为“长身玉立，须眉秀发”；描绘他的气质
为“性喜饮，酒酣耳热，平生■磊不平之气，往往慷慨悲歌，声音激越。”
汪莱是一个多才多艺的学者。除了数学和天文外，他也精通经史、释
老、音韵、乐律、金石、训诂。他曾著有《十三经注疏正误》、《说文声
类》等书，可惜都未能传下来。在石埭任上时，他闻知乡间老媪掘得两件
铭文汉釜，遂以有限的薪俸加以收购珍藏。他死后，家人数度靠典当这两
件铜器维持生计。与大多数的封建社会士子一样，他在事业和生活都不顺
遂的情况下，也会产生遁世的幻想，就是在“抱璞而泣”的那一年，他写
了一部“天地万物为灰为不净经”，经文中当然绝无“■磊不平之气”了。
他为焦循《加减乘除释》所写的序文则由《南华经》集萃而成，显示了一
定的佛学修养。关于汪莱的超群记忆力，许多作者都留下了记载：夏■称
他“读书过目辄记忆，《十三经注疏》几于能口举其辞”；焦循称他“天
资敏绝，性能攻坚。。目一二过，默识静会，已洞悉其本原”；罗士琳也
承认他“超异绝伦”。
然而汪莱的个人经历却是充满坎坷的。他自幼家贫，早年丧父，家中
常常无以治炊，以至以草根、树皮为食，屡次应试均未及第，最终贫病交
加，以45 岁的盛年告别了人世。在他生前，除了焦循、李锐和夏銮等少数
人外，多数学者都不能理解他的学术成就。汪莱撰成第五册算书后请张敦
仁指正，张氏不但讥为“过苦”，后来还将自己的著作《开方补记》及明
安图遗稿有意对他保密。时人并称汪莱与焦循、李锐为“谈天三友”，阮
元却以另一个学者凌廷堪来取代汪莱。第五册算书本是与江藩共同讨论后
之作，江氏却因汪莱的观点与李锐略有不合而捕风捉影地说他们“遂如寇
仇，终身不相见”，进而批评汪莱“过矣”。罗士琳指责他“矫枉过正，
未免有失之于偏”。骆腾凤根本没有理解他考定方程正根的苦心，却影射
他以“黯■之词以欺世”。种种事实表明，汪莱是被当时所谓正统的考据
学家们拒之于门外的一个“异端”。究其社会历史原因，主要有两条：一
是汪莱治学刻意求新；二是他不介意本西法言算，而这两条正有悖于当时
的风尚。
焦循应该说是最有资格评论汪莱的学者了，他说“孝婴之学深妙入
微”，“所言皆人所未言与人所不能言”，此话或许道破了汪莱不为同代
人所理解的天机。至于本西法言算，正是尊奉“西学中源”说的乾、嘉两
朝学子们的大忌，汪莱遭到冷遇甚至攻击也就不足为怪了。焦循在比较汪
莱和李锐的学术风格时有一个十分精辟的论断：“今世精九数者，推孝婴
及李尚之锐。尚之善言古人所已言，而阐发得其真；孝婴善言古人所未言，
而引申得其间。尚之精实如诗之有少陵也；孝婴超异，如诗之有太白也。”
把汪莱与诗仙李白相比，虽然不一定十分贴切，但也颇有助于说明汪莱在
科学史上的位置，他是清代中叶最富有创造精神和独立人格的一位科学
家。”
文献
原始文献
＇1＇（清）汪莱撰，夏■辑：衡斋算学，鄱阳县署刻本，1854。
＇2＇（清）汪莱撰，夏■辑：衡斋遗书，鄱阳县署刻本，1854。
＇3＇（清）胡培■：石埭儒学训导汪先生行略，抄本，汪宜楷家藏。
＇4＇（清）焦循：石埭儒学训导汪君孝婴别传，抄本，汪宜楷家藏。研
究文献
＇5＇（清）罗士琳：汪莱传论，见《畴人传续》，花雨楼刊本，1882。
＇6＇钱宝琮：汪莱衡斋算学评述，见《钱宝琮科学史论文选集》，科学
出版社，1983，第235…260 页。
＇7＇李兆华：汪莱《递兼数理》、《参两算径》略论，见吴文俊主编《中
国数学史论文集》第2 集，山东教育出版社，1986，第65…78 页。
＇8＇汪宜楷：汪莱先生年谱，徽州学学会第二届年会论文，油印本，
1986。
王清任
洪武娌
王清任字勋臣。直隶玉田（今河北玉田）人。清乾隆三十三年（1768
年）生；道光十一年（1831 年）卒。中医学。
王清任少年时尚武，曾为武庠生，纳粟得千总御。20 岁开始行医，后
到北京城开设“知一堂”药辅，一时颇负盛名。
他在学术上的成就主要有两个方面：一是对人体脏腑生理解剖的描
叙；二是对各种瘀血症的治疗。
王清任在医学上的最大特点，是十分重视人体脏腑的功能和结构。他
强调“业医诊病，当先明脏腑”，“著书不明脏腑，岂不是痴人说梦；治
病不明脏腑，何异于盲子夜行”。他认为作为一名医者，如果不明人体内
部脏腑的结构和功能，则不能称其为良医，指出脏腑解剖在医学发展中的
重要意义。
王清任在潜心研究大量古医书后，发现古人关于脏腑的记述有一些错
误和自相矛盾之处，由此产生了亲自观察人体脏腑结构的念头。在封建社
会里，解剖尸体被视为大逆不道，要想进行人体解剖研究是根本不可能的。
嘉庆二年（1797），王清任游经滦州稻地镇时，正值当地流行小儿麻疹、
痢疾，疫情严重，病亡小儿很多。当地有尸体不得掩埋的风俗，各处可见
破腹露脏的儿尸。王清任得此良机，连续观察了10 日。他将自己亲眼观察
到的与古文献记载的相比较，发现古医书中所绘脏腑形图与他亲眼所见很
不一致，脏腑数量的多寡亦不相符。他将亲眼所见脏腑的情况如实绘图，
并根据自己多年的临床实践经验，于1830 年完成了《医林改错》这部著作。
王清任在较深入了解人体腑器的正常解剖部位和结构的基础上，纠正
了古人的一些错误。如古人认为肝是左三叶，右四叶。王清任指出：肝只
有四叶，而且大面向上，后连于脊；肝为实体，与肠、胃、膀胱等中空有
腔的内脏不同。同时他还指出胆附着于右肝第二叶。
王清任根据李时珍“脑为元神之府”，以及同时代金正希“人之记性
皆在脑中”的观点，对人体脑髓的重要作用作了相当细致的论述，大胆提
出人的灵机记性（思维活动）在于脑，而不在心的论说。他还详述了脑髓
的生成过程，认为“饮食生气血，长肌肉，精汁之清者，化而为髓，由脊
骨上行入脑，名曰脑髓”。他提出人的视觉、听觉、嗅觉、感觉、思维记
忆都与脑有直接关系，指出人体“所听之声归于脑”，“所见之物归于脑”，
“所闻香臭归于脑”，甚至语音、记忆、灵机等等功能，全是脑在主宰。
在中医发展史上，系统地把感觉、思维等与脑的功能联系起来加以论述还
是首次。
王清任在人体脏腑结构的其他方面还有一些新的见解。如他发现胃之
内离津门（即幽门）之左一分远处，有一疙瘩，形大如枣，名曰“遮食”，
乃为一种使食物不能随意流动的结构，这就是现代解剖学上的幽门括约
肌。他还详细地描叙了胃在腹腔中的位置，指出胃在腹，是平铺卧长，上
口向脊，下口向右的结构。关于横膈膜的形状、功能，他指出膈膜薄如纸，
是躯体“上下界物”，亦即胸腔和腹腔的分界物。膈膜上是心脏和肺脏，
其余脏器都在其下。王清任对肺脏的观察，主要指出了肺管和肺组织结构，
认为“肺管至肺分两叉，入肺两叶，直贯肺底，皆有节。管内所存皆轻浮
白沫，如豆腐沫，有形无体”。他所描述的整个支气管系统的结构，在他
的前代是没有过的。
基于他对人体脏腑解剖结构和人体气血学说理论的认识，王清任在临
床方面也取得一定的成就。他认为：“治病之要诀是在明白气血，无论外
感、内伤，要知初病伤人何物。”外邪所伤者，无非气血，故人体■病皆
气血失调的结果，而气血又有虚实和亏瘀之别。在这一思想的指导下，他
结合前人的经验，创立了30 余首活血化瘀的汤药方剂。
在祛瘀活血方中，他把疾病分成三种类型，分别设立三个汤头统治。
通窍活血汤通治头面部及四肢血管血瘀症，其中包括头发脱落、眼疾、白
癜风、紫癜风、牙疳、小儿疳证等14 种病症。这些病证虽然症状不同，但
都因瘀血而致，如脱发是皮里肉外血瘀；牙疳是血瘀牙床；小儿疳证是周
身血管血瘀。血府逐瘀汤则是专门为逐血府瘀血而设计的，也是王清任在
临床实践中应用最广泛的一个方剂。它能治疗人体受某种因素影响而发生
血瘀所致的一切病证，亦即胸中血腑血瘀之症，包括头痛、夜睡梦多、肝
气痛、急燥、憋闷、干呕、夜热、呃逆、心里热、心跳、小儿夜啼等多种
病证。膈下逐瘀汤则是用于五腹中瘀血所致的病证，包括腹中积块、久泻、
腹痛、痞块等六种病证。其中当归、川芎、赤芍活血养血，用桃仁、红花、
灵脂破血逐瘀，以消肿块，其祛瘀能力远较前两方为甚。
王清任创制的三首活血化瘀方剂，虽然都具有活血化瘀之功效，但又
各有所长。如通窍活血汤着重在通窍活血；血府逐瘀汤着重祛瘀活血；膈
下逐瘀汤着重逐瘀破结。王清任还立有少腹逐瘀汤方剂，多用于妇女，因
为他认为妇女月经不调引起的不孕，皆系少腹瘀血所致。
在补气活血方面，王清任将补气与活血相结合用，在补气的同时给以
活血药物。在补气方中，多重用黄芪，配红花、桃仁以活血。王清任的这
一临床经验，是他学术思想的又一显著特点。他所创制的补气活血方剂有
补阳还五汤、助阳止痒汤、足卫和荣汤、止泻调中汤等。这些方剂，经近
代临床验证，确有较好疗效。
王清任是我国古代一位具有实践和创新精神的医学家。他重视人体脏
腑结构在临床医学中的重要意义，崇尚实践。不迷信古人所述，敢于背叛
封建礼教，通过亲自动手检查尸体去认识事物，并提出自己的见解，所以
在医学解剖学和方剂学上能有所建树。但是，王清任受当时历史条件所限，
在脏腑结构的叙述上也有某些不当之处，如把卫总管（即主动脉）误认为
是气管；认为心无血等等。
文献
原始文献
＇1＇（清）王清任撰，陕西省中医研究院注释：医林改错，人民卫生出
版社，1984。研究文献
＇2＇马堪温：祖国清代�