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学术上的成就主要有：《九章算法纂类》中记述的增乘开方法；《详解九章
算法》记载了西方称之为“巴斯客三角”的“开方作法本源图”。
杨辉在中国数学史上不仅是一位著述甚丰的数学家，而且是一位卓越的
数学教育家。他特别重视数学的普及教育，他的许多著作都是为普及数学教
育而编写的教科书。在《算法通变本末》中，杨辉为初学者制订的“习算纲
目”，是中国数学教育史上的一件重要文献。杨辉主张在数学教育中贯彻“须
责实有”的思想，就是紧密联系实际，发展数学研究与教育，这也是中国古
代数学优良传统之一。在数学方法上，杨辉主张循序渐进，精讲多练。主张
熟读精思，融会贯通，在广博的基础上深入，要着重于消化。杨辉还特别重
视对计算能力的培养。他十分强调习题的演算，每个学习单元都规定完成一
定数量的练习，认为这样才可以“庶久而无失念”。杨辉作为一位杰出的数
学教育家，在中国古代数学教育史上占有重要地位。他的先进的教育思想和
教学方法，是留给后世的一份珍贵遗产。
朱世杰，字汉卿，号松庭，寓居燕山 （今北京附近），是元代一位成就
卓著的数学家。他曾以数学名家之身份周游各地二十余年，为中国数学留下
两部优秀的数学著作——《算学启蒙》（公元1299年）和《四元玉鉴》（公
元1303年）。他写书的目的在于“发明《九章》之妙以淑后学”。
朱世杰在“垛积术”以及与垛积相关的内插法方面颇有造诣。他的主要
成就是“四元术”的创立。
把天元术加以推广，用以表示四元以内的方程或方程组，这样就出现了
四元术。四元术分别以天、地、人、物表示4个未知数，叫做天元、地元、
物元、人元。四元术的精华在于相消，即由该方程组经过变形得到一个一元
的高次方程。朱世杰的消去法是中国数学史上一项杰出的成就。在西方，由
方程f（x，y）＝0，g（x，y）＝0消去一个未知量的方法是法国数学家别朱
于1764年给出初步方案，直到1779年出版的《代数方程的一般理论》才正
式发表。这已在朱世杰之后400年。因此，朱世杰的工作在世界数学史上也
是一个重要成果。
宋元四大家为我国古代数学史上的巅峰人物，在全世界也是屈指可数
的。但宋元时期大数学家绝非仅此四人。此外如贾宪、刘益、沈括等人都作
出了重要贡献，“四大家”的成就是直接以他们的成就为基础的。所以，四
大家的成就代表的是当时中华民族所达到的科学文化水平。
珠算的发明和使用，也是这一时期最伟大的数学成就之一。宋元时期，
由于商业的发达，四则运算成了商品市场中频繁使用的科学知识。传统的筹
算法不但使用不方便，计算速度也远远不能满足需要。因此，改革运算工具
就更显得迫切了。
珠算盘是人们在长期的改革实践中，由算筹的小型化和摆弄位置的固定
化演变而来，经过不断地改进才逐渐臻于完善。它是广大劳动者的智慧结晶。
珠算盘最迟在元末便已普遍使用了。
珠算盘不仅外形小巧灵便，而且直接与算法歌诀相配合，真正做到得心
应手，形成了简单快速的珠算术。虽然现在已进入了电子计算机的时代，但
是在以加减运算为主的财会工作中，因为珠算速度可以和小型电子计算器媲
美，所以算盘仍保持着重要的地位。
宋元时期的数学教育和对外交流仍很发达。宋元的官立算学仍与隋唐相
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同。颇具特色的是私立算学不但数量比以前大增，讲授的内容较广泛，效率
也比官设算学高得多。
唐宋以来，中国和阿拉伯保持着密切联系，阿拉伯商人在广州、泉州、
扬州经商，哈里发与中国皇帝之间也时有使臣往来。因此，阿拉伯的历法、
幻方、“格子算”、欧几里得的《原本》等数学知识传入中国，中国的十进
位制、分数记法、“百鸡问题”、贾宪三角形及增乘开方法等内容也出现在
阿拉伯的一些著作中。
有人把宋元时期数学的发达的原因归结为三个方面。首先，工商业和城
市的发展使社会对数学的需要增加。其次，由于宋代地主阶级人数扩大，许
多人终生不得仕进，所以作为六艺之一的数学有较大的吸引力。宋元四大家
的著作都是赋闲时的研究成果。最后，由于数学不需要投入大量资金、人力
和时间，而且成败无伤、不担风险、不触忌讳，其研究规模特别适合于小农
经济。这是中国数学能持续发展的主要原因。
宋元数学虽然达到了顶峰，但也存在着严重的危机。
一方面，对数学社会需要的增加，并没有导致占统治地位的社会意识的
变化。数学仍被认为是“九九贱技”。数学家们在思想上受着压抑。虽然他
们在社会下层受到尊重，但是当他们面对上流社会时，总难免自卑自贱。数
学四大家在为自己著作写的序言中都流露了这种感情。
另一方面，把数学纳入阴阳五行论的轨道是宋元时期数学的一大特点。
由于受宋元时期哲学上的客观唯心论的影响，数学被导向神秘化。
因此，从元末以后，中国数学除珠算以外，发展缓慢，明末以后，中国
数学已经落后于世界先进水平。
总的说来，在中世纪长达一千多年的时期内，由于欧洲的科学一直处于
萧条和不景气局面，科学的中心转移到了东方，于是数学也随之而进入了“东
方的发展阶段”。当时的东方国家，如中国、阿拉伯各国和印度，在数学上
都取得了相当高的成就。而这一时期的欧洲，没有特别重大的数学发现，主
要是吸收古代世界和东方的数学遗产的时期。
值得注意的是，印度人和阿拉伯人对数学的用法偏重实用。他们研究数
学是因为天文学占星术以及工程技术需要数学，他们不会象希腊人那样为了
了解自然而钻研数学，因而缺乏批判精神。他们的主要成就表现在算术和代
数方面，而在几何方面建树甚微。这是因为算术和代数可以依据经验和直观
启示，在社会生活中比较实际。而几何是讲究演绎的，需要整套的逻辑演绎
知识。阿拉伯人和印度人很有创新精神，发明了许多好的方法和计算技巧，
但是他们对算术和代数的逻辑基础漠不关心。
中国古代数学也有浓重的应用数学色彩。通观中国古典数学著作的内
容，几乎都与当时社会生活的实际需要有密切的联系。中国算学经典基本上
都遵从问题集解的体例编纂而成，它涉及的内容反映了当时社会政治、经济、
军事、文化等方面的实际情况和需要。因此，中国古代数学的成就也是表现
在代数和算术方面。
数学在一个自由的学术气氛中最能获得成功。它既需要对物理世界所提
出的问题发生兴趣，又需要有人愿意从抽象方面去思考由这些问题所引起的
概念，而不计其是否能谋取眼前的或实际的利益。因此，在太注重实际的文
明中数学不能繁荣滋长。
反观中世纪后期的欧洲数学，虽然没有特别重大的数学发现，但是通过
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文化交流和传播，使它冲破宗教思想的束缚，恢复了数学的科学精神——认
识自然。这一精神为欧洲数学在下一时期 （文艺复兴时期和近代数学创立时
期）的迅猛发展准备了思想条件。
欧洲数学后来居上，最终在世界数学中一枝独秀。笔者认为，除了历史
的、社会的原因，东西方数学传统上的这些差异也是很有影响的。
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三、物理学
1。阿拉伯物理学
中世纪阿拉伯人继承和发展了古希腊的科学和文化，从而创造了灿烂的
阿拉伯文明。在物理学方面，阿拉伯人也大量吸收了古希腊的科学成就。阿
基米德、亚里士多德、托勒密等人的著作被翻译成阿拉伯文。从10世纪以后，
阿拉伯人在物理学上做了许多工作，尤其是在光学和静力学方面成果显著。
在光学方面，阿拉伯最杰出的物理学家是阿勒·哈增 （约965—1038）。他
曾在埃及任大臣，著有《光学全书》。阿勒·哈增从希腊人那里学到了“反
射定律”——光反射时反射角等于入射角。在此基础上，他又进一步指出：
入射光线、反射光线和法线都在同一平面上。
阿勒·哈增还纠正了托勒密的折射定律。托勒密断言：入射角与反射角
成正比。阿勒·哈增特地做了一个实验来检验。他把一个带有刻度的圆盘垂
直地放置，一半浸入水中。入射光通过盘边的小孔和中心的小孔射入，入射
角和反射角可以从圆盘上的刻度准确读出。他发现：入射光线、折射光线和
法线在同一平面上；托勒密的折射定律只有在入射角较小时才近似成立。可
惜，他也未能得出正确的折射公式。
阿勒·哈增研究过球面镜和抛物柱面镜。他发现：平行于主轴的光线入
射到球面镜上时，则反射到这个轴上。为此，他提出了著名的“阿勒·哈增
问题”：在发光点和眼睛已定的情况下，寻找球面镜、圆锥面镜和圆柱面镜
上的反射点。他对这个问题进行了详细的讨论。
阿勒·哈增还研究了视觉生理学。当时在阿拉伯的沙漠和热带地区眼病
盛行，因此阿拉伯的眼病研究很发达。阿拉伯人很早已经能用手术处理眼病，
关注到了眼睛的生理构造。阿勒·哈增是最早使用了“网膜”、“角膜”、
“玻璃体”、“前房液”等术语的人。他认为视觉是在玻璃体中得到的。他
还反对由柏拉图和欧几里德提出的关于视觉是由眼睛发出光线的学说，而赞
成德谟克利特的观点，认为光线是从被观察的物体以球面形式发射出来的。
阿勒·哈增对光学的研究，有力地促进了现代光学的诞生。
在力学方面，阿尔·哈兹尼 （生卒年不详）作出了重要的贡献。他在公
元1137年发表的《智慧秤的故事》一文中，详细地描绘了他自己发明的带有
5个秤盘的杆秤。它既可以作为杆秤使用，也可用一个可动的秤盘在没有砝
码的情况下测量重物，还可以在水中测定物体的重量。阿尔·哈兹尼用智慧
秤测物体重量，同时使用一个带有向下倾斜的喷嘴的容器，把水灌满容器至
喷嘴口，然后把物体浸入容器，通过测量溢出的水重可以确定物体的体积。
他用这个方法确定了一些物质的密度。
阿尔·哈兹尼还发现空气也有重量，因此他把阿基米德的浮力定律从液
体推广到空气中。他发现“大气的密度随高度的不断增加，其密度越来越小，
因此物体在不同高度测量时，重量会有所不同。”这也是很重要的力学规律。
他还以路程与时间之比给出了速度的概念。
阿拉伯的物理学研究和它的经济发展联系极为紧密。在度过了从公元10
世纪到12世纪的鼎盛时期后，由于阿拉伯内部灌溉农业管理不善；外部承受
了基督徒十字军的打击以及蒙古人、鞑靼人的入侵。内外交困的阿拉伯经济
衰败了，阿拉伯物理学与数学一样，也随之衰落了。
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阿拉伯的物理学主要是继承了希腊人的成果，并有所创新。阿拉伯物理
学为中世纪的欧洲提供了丰富的资料、实验、理论和方法，有力地推动了欧
洲物理学的复兴。
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2。欧洲物理学
与阿拉伯、中国辉煌的中世纪相反，古代文明的夕阳余辉在欧洲大陆逐
渐消失。古希腊的文明在罗马时代就开始衰落。到了5世纪，教会在政治上
成为统治者。由于教徒们只关心天国与来世，科学研究成为无人问津的畏途。
《圣经》的词句具有法律意义，一切智慧都在《圣经》里，一切学问都归教
会神父们所有。由于5至11世纪中世纪的科学成果如此之少，后人称之为欧
洲的“黑暗时期”。这一时期物理学也是进展甚微。
十字军东征使欧洲人接触到了灿烂的阿拉伯文明。用阿拉伯文保存下来
的古希腊、罗马著作，以及中国的四大发明等技术，都在这一时期传入欧洲，
为欧洲的学术复兴创造了条件。此外，欧洲的手工业和商业进一步发展，出
现了城市，建立了许多大学，如牛津大学、剑桥大学、巴黎大学等。正如中
世纪欧洲数学的成就在很大程度上归功于大学的产生，中世纪欧洲许多物理
学的成就也是在大学中获得的。
1200至1225年间，亚里斯多德的全集被发现了。牛津大学校长、林肯
区的主教格罗塞特立刻把它翻译成拉丁文。亚里斯多德著作的再发现引起了
很大的变化。当时人们已经深信教会作为天启的接受者与解释者，在学术上
是至高无上的。而代表世俗学问的神秘的新柏拉图主义则与天启相符。要接
受新发现的亚里斯多德的著作，并把著作里包含的物理学知识与基督教教义
调和起来，在学术上需要大胆的突破。因此，研究亚里斯多德一时引起教会
的恐慌，甚至在1209年，巴黎的大主教管区禁止出版亚里斯多德的著作。
当时解释亚里斯多德的最主要的学者是多明我会修士大阿尔伯特（1206
—1280）。他是中世纪欧洲一个很有科学思想的人。他把亚里斯多德、阿拉
伯民族和犹太族的科学思想组成了一个整体。其中包括了物理学、医学等各
种知识，并且最终由他的门徒托马斯·阿奎那完成了宗教思想的革命。
托马斯·阿奎那 （1225—1274）也是多明我会修士，意大利神学家。他
著有《神学大全》与《箴俗哲学大全》，用亚里斯多德的形式逻辑论证了教
会的思想体系。亚里斯多德认为认识世界的关键是物理学。但是他所说的物
理学并非指无生命的物质运动规律，而是认为物理就是事物倾向于长成什么
和正常行为是怎样的天性。科学研究的目的就是寻找万物的天性。他还用“天
然位置”和“终极原因”来解释物体的自然运动。亚里斯多德的物理学有许
多荒诞不经的成分，阿奎那充分利用了他的自然知识，把它和神学结合起来。
认为知识有两个来源：一是基督教信仰，由《圣经》、神父及教会的传说流
传下来；另一个是人类理性所推出的真理，个人的理性是自然真理的泉源，
柏拉图和亚里斯多德是它的主要解说者。基督教的信仰不能用理性去证明，
但可以用理性去检查和领悟。就这样，经院哲学在托马斯·阿奎那手里达到
了最高水平。托马斯·阿奎那主张用理性去检查和领悟基督教信仰，这种彻
底的唯理论促成了近代科学研究的学术气氛，是有一定进步意义的。只是到
后来，当亚里斯多德的物理学被近代科学的发展远远抛在后面，经院哲学才
成为禁锢科学发展的枷锁。哥白尼、布鲁诺、伽里略等科学家的悲剧正是经
院哲学所造成的。
13世纪的欧洲涌现出一个短时期的实验风气，其中最杰出的代表人物是
罗吉尔·培根（1214—1294）。我们已经介绍了他在数学方面的杰出贡献。
他的物理学思想也远远高出中世纪的其他欧洲哲学家、科学家。
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罗吉尔·培根出生在英国，曾在牛津大学学习和任教，也曾在巴黎大学
从事过教学和研究工作。罗吉尔·培根博览群书，深入钻研过古希腊和阿拉
伯的著作。但他并不盲从书本，而是谆谆告诫世人：证明前人说法的唯一办
法只有观察和实验。他认为错误的原因有四：即对权威的过度崇拜、习惯、
偏见与对知识的自负。尤其是他卓有见识地倡导“只有实验方法才能给科学
以确实性”，正确地指出了物理学研究的方向。因此，他在科学思想和科学
方法上都被誉为近代自然科学的先驱。
罗吉尔·培根本人在物理学上做的实验不多。他学习了�